a)

Zapiszmy, że

$$\begin{gathered} x_1^2{x}_2^2=1 \\ {\left(x_1{x}_2\right)}^2=1 \\ {x}_1{x}_2=-1\text{lub}{x}_1{x}_2=1 \end{gathered}$$

Rozpiszmy drugie równanie

$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2=7 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=7 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=7 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=7+2x_1{x}_2 \end{gathered}$$

Mamy możliwości

$$\begin{gathered} {\left(x_1+x_2\right)}^2=7-2\text{lub}{\left(x_1+x_2\right)}^2=7+2 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=5\text{lub}{\left(x_1+x_2\right)}^2=9 \end{gathered}$$

Otrzymujemy w takim razie

$x_1+x_2=-\sqrt{5}\text{lub}{x}_1+x_2=\sqrt{5}$

lub

$x_1+x_2=-3\text{lub}{x}_1+x_2=3$

Podsumowując otrzymaliśmy cztery warianty

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-1\\ x_1+x_2=-\sqrt{5}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-1\\ x_1+x_2=\sqrt{5}\end{array}\text{lub} \\ \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=1\\ x_1+x_2=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=1\\ x_1+x_2=3\end{array} \end{gathered}$$

Korzystając ze wzorów Viète'a ora tego, że $a=1$ otrzymujemy

$x^2+\sqrt{5}x-1=0\text{lub}{x}^2-\sqrt{5}x-1=0\text{lub}{x}^2+3x+1=0\text{lub}{x}^2-3x+1=0$

---

b)

Zapiszmy, że

$$\begin{gathered} x_1^2{x}_2^2=1 \\ {\left(x_1{x}_2\right)}^2=1 \\ {x}_1{x}_2=-1\text{lub}{x}_1{x}_2=1 \end{gathered}$$

Rozpiszmy drugie równanie

$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2=2 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=2 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=2 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=2+2x_1{x}_2 \end{gathered}$$

Mamy możliwości

$$\begin{gathered} {\left(x_1+x_2\right)}^2=2-2\text{lub}{\left(x_1+x_2\right)}^2=2+2 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=0\text{lub}{\left(x_1+x_2\right)}^2=4 \end{gathered}$$

Otrzymujemy w takim razie

$x_1+x_2=0$

lub

$x_1+x_2=-2\text{lub}{x}_1+x_2=2$

Podsumowując otrzymaliśmy cztery warianty

$\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-1\\ x_1+x_2=0\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=1\\ x_1+x_2=-2\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=1\\ x_1+x_2=2\end{array}$

Korzystając ze wzorów Viète'a ora tego, że $a=1$ otrzymujemy

$x^2-1=0\text{lub}{x}^2+2x+1=0\text{lub}{x}^2-2x+1=0$

---

c)

Zapiszmy, że

$$\begin{gathered} x_1^2{x}_2^2=1 \\ {\left(x_1{x}_2\right)}^2=1 \\ {x}_1{x}_2=-1\text{lub}{x}_1{x}_2=1 \end{gathered}$$

Rozpiszmy drugie równanie

$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2=k \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=k \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=k \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=k+2x_1{x}_2 \end{gathered}$$

Mamy możliwości

${\left(x_1+x_2\right)}^2=k-2\text{lub}{\left(x_1+x_2\right)}^2=k+2$

Otrzymujemy w takim razie

$x_1+x_2=-\sqrt{k-2}\text{lub}{x}_1+x_2=\sqrt{k-2}$

lub

$x_1+x_2=-\sqrt{k+2}\text{lub}{x}_1+x_2=\sqrt{k+2}$

Podsumowując otrzymaliśmy cztery warianty

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-1\\ x_1+x_2=-\sqrt{k-2}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-1\\ x_1+x_2=\sqrt{k-2}\end{array}\text{lub} \\ \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=1\\ x_1+x_2=-\sqrt{k+2}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=1\\ x_1+x_2=\sqrt{k+2}\end{array} \end{gathered}$$

Korzystając ze wzorów Viète'a ora tego, że $a=1$ otrzymujemy

$x^2+\sqrt{k-2}x-1=0\text{lub}{x}^2-\sqrt{k-2}x-1=0\text{lub}{x}^2+\sqrt{k+2}x+1=0\text{lub}{x}^2-\sqrt{k+2}x+1=0$

---

d)

Zapiszmy, że

$$\begin{gathered} x_1^2{x}_2^2=4 \\ {\left(x_1{x}_2\right)}^2=4 \\ {x}_1{x}_2=-2\text{lub}{x}_1{x}_2=2 \end{gathered}$$

Rozpiszmy drugie równanie

$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2=8 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=8 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=8 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=8+2x_1{x}_2 \end{gathered}$$

Mamy możliwości

$$\begin{gathered} {\left(x_1+x_2\right)}^2=8-4\text{lub}{\left(x_1+x_2\right)}^2=8+4 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=4\text{lub}{\left(x_1+x_2\right)}^2=12 \end{gathered}$$

Otrzymujemy w takim razie

$x_1+x_2=-2\text{lub}{x}_1+x_2=2$

lub

$x_1+x_2=-2\sqrt{3}\text{lub}{x}_1+x_2=2\sqrt{3}$

Podsumowując otrzymaliśmy cztery warianty

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-2\\ x_1+x_2=-\sqrt{5}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-2\\ x_1+x_2=\sqrt{5}\end{array}\text{lub} \\ \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=2\\ x_1+x_2=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=2\\ x_1+x_2=3\end{array} \end{gathered}$$

Korzystając ze wzorów Viète'a ora tego, że $a=1$ otrzymujemy

$x^2+2x-2=0\text{lub}{x}^2-2x-2=0\text{lub}{x}^2+2\sqrt{3}x+2=0\text{lub}{x}^2-2\sqrt{3}x+2=0$