a)
Zauważmy, że dla x∈(2;+∞)mamy
x>2>0→∣x∣=xx−2>0→∣x−2∣=x−2
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣x∣−∣x−2∣=x−(x−1)=x−2+2=2
b)
Zauważmy, że dla x∈(−∞;−1) mamy
x<−1<0→∣x∣=−x1+x<0→∣1+x∣=−x−1
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣1+x∣−∣x∣=−1−x−(−x)=−1−x+x=−1
c)
Zauważmy, że dla x∈(−1;1) mamy
−1<x<1
x−1<0→∣x−1∣=−x+1x+1>0→∣x+1∣=x+1
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣x−1∣+∣x+1∣=−x+1+x+1=2
d)
Zauważmy, że dla x∈(−∞;−2) mamy
x<−2
x+2<0→∣2x+4∣=∣2(x+2)∣=2∣x+2∣=2(−x−2)=−2x−4x−1<−3<0→∣x+1∣=−x−1
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣x+1∣+∣2x+4∣=−x−1+(−2x−4)=−x−1−2x−4=−3x−5
e)
Zauważmy, że dla x∈(−∞;0) mamy
x<0
x−2<0→∣x−2∣x2−4=−(x−2)x2−4=−(x−2)(x−2)(x+2)=−(x+2)=−x−2x−1<0→∣x−1∣=−x+1
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣x−2∣x2−4+∣x−1∣=−x−2−x+1=−2x−1
f)
Zauważmy, że dla x∈(0;1) mamy
0<x<1
−2<x−2<−1→∣x−2∣=−x+22<x+2<3→∣x+2∣=x+2
−1<−x<01<2−x<2→∣2−x∣=2−x
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣x−2∣+∣x+2∣−∣2−x∣=−x+2+x+2−(2−x)=−x+2+x+2−2+x=x+2
g)
Zauważmy, że dla x<−3 mamy
x+3<0→∣x+3∣=−x−3
−x>32−x>5→∣2−x∣=2−x
2x<−62x−1<−7→∣2x−1∣=−2x+1
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣2x−1∣+∣2−x∣−∣x−3∣=−2x+1+2−x−(−x−3)=−3x+3+x+3=−2x+6
h)
Zauważmy, że dla x∈(−2;1) mamy
−2<x<1
−3<x−1<0→∣x−1∣=−x+1
0<x+2<3→∣x+2∣=x+2
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
3∣x−1∣−2∣x+2∣=3(−x+1)−2(x+2)=−3x+3−2x−4=−5x−1
i)
Zauważmy, że dla x∈(−1;0) mamy
−1<x<0→∣x∣=−x
1<x+2<2→∣x+2∣=x+2
0<x+1<1→∣x+1∣=x+1
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
x∣x∣−∣x+2∣+∣x+1∣x+1=x−x−(x+2)+x+1x+1=−1−x−2+1=−x−2
j)
Zauważmy, że dla x∈(−5;3) mamy
−5<x<3
0<x+5<8→∣x+5∣=x+5
−8<x−3<0→∣x−3∣=−x+3
Stąd wyrażenie można zapisać prościej
∣x+5∣x2−25−∣x−3∣9−x2=x+5(x−5)(x+5)−3−x(3−x)(3+x)=x−5−(3+x)=x−5−3−x=−8
