a)

Mamy

$$\begin{gathered} \sqrt{2}x<x-1|-x \\ \sqrt{2}x-x<-1 \\ x\left(\sqrt{2}-1\right)<-1|:\left(\sqrt{2}-1\right) \\ x<-\frac{1}{\sqrt{2}-1} \\ x<-\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} \\ x<-\frac{\sqrt{2}+1}{{\sqrt{2}}^2-1^2} \\ x<-\frac{\sqrt{2}+1}{2-1} \\ x<-\sqrt{2}-1 \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\underline{-3}=-2-1=-\sqrt{4}-1<\underline{-\sqrt{2}-1}<-\frac{3}{2}-1=\underline{-2,5}$

Stąd

$-3<-\sqrt{2}-1<-2,5$

Zatem istnieje liczba całkowita największa spełniająca tą nierówność. Wynosi ona $-3$.

---

b)

Mamy

$$\begin{gathered} x-\sqrt{5}x>4 \\ x\left(1-\sqrt{5}\right)>4|:(1-\sqrt{5}) \\ x>\frac{4}{1-\sqrt{5}} \\ x>\frac{4(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})} \\ x>\frac{4(1+\sqrt{5})}{1^2-{\sqrt{5}}^2} \\ x>\frac{4(1+\sqrt{5})}{1-5} \\ x>\frac{4(1+\sqrt{5})}{-4} \\ x>-1-\sqrt{5} \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\underline{-4}=-1-3=-1-\sqrt{9}<\underline{-1-\sqrt{5}}<-1-\sqrt{4}=-1-2=\underline{-3}$

Stąd

$-4<-1-\sqrt{5}<-3$

Zatem istnieje liczba całkowita najmniejsza spełniająca tą nierówność. Wynosi ona $-4$.

---

c)

Mamy

$$\begin{gathered} \sqrt{3}x<x+2|-x \\ \sqrt{3}x-x<2 \\ x\left(\sqrt{3}-1\right)<2|:\left(\sqrt{3}-1\right) \\ x<\frac{2}{\sqrt{3}-1} \\ x<\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} \\ x<\frac{2(\sqrt{3}+1)}{{\sqrt{3}}^2-1^2} \\ x<\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} \\ x<\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} \\ x<\sqrt{3}+1 \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\underline{2}=1+1<\underline{\sqrt{3}+1}<\sqrt{4}+1=2+1=\underline{3}$

Stąd

$2<\sqrt{3}+1<3$

Zatem istnieje liczba całkowita największa spełniająca tą nierówność. Wynosi ona $-2$.

---

d)

Mamy

$$\begin{gathered} \sqrt{5}x-6<3x+2|-3x+6 \\ \sqrt{5}x-3x<8 \\ x\left(\sqrt{5}-3\right)<8|:\left(\sqrt{5}-3\right) \\ x<\frac{8}{\sqrt{5}-3} \\ x<\frac{8(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)} \\ x<\frac{8(\sqrt{5}+3)}{{\sqrt{5}}^2-3^2} \\ x<\frac{8(\sqrt{5}+3)}{5-9} \\ x<\frac{8(\sqrt{5}+3)}{-4} \\ x<-2(\sqrt{5}+3) \\ x<-2\sqrt{5}-6 \end{gathered}$$

Zauważmy, że

$\underline{-11}=-5-6=-2\cdot \frac{5}{2}-6<\underline{-2\sqrt{5}-6}<-2\sqrt{4}-4=-2\cdot 2-6=-4-6=\underline{-10}$

Stąd

$-11<-2\sqrt{5}-6<-10$

Zatem istnieje liczba całkowita największa spełniająca tą nierówność. Wynosi ona $-10$.