Uwaga

Jeżeli $x=a\cdot 10^n$ i $a\in ⟨1;10)$, to do zapisu liczby $x$ potrzebnych jest $n+1$  cyfr.

---

a)

Obliczmy logarytm dziesiętny z podanej liczby

$\log 2^{1024}=1024{\log }_2=\dots$

Zauważmy, że

$\log 2\approx 0,301$

Stąd

$\dots =1024\cdot 0,301\approx 308,25$

Rozważana liczba jest postaci

$2^{1024}=10^{\log 2^{1024}}\approx 10^{308,25}=10^{0,25}\cdot 10^{308}\approx \underset{\in ⟨1;10)}{\underbrace{1,78}}\cdot 10^{308}$

Zatem ta liczba ma $309$ cyfr.

---

b)

Obliczmy logarytm dziesiętny z podanej liczby

$\log 3^{729}=729{\log }_{}3=\dots$

Zauważmy, że

$\log 3\approx 0,4771$

Stąd

$\dots \approx 729\cdot 0,4771\approx 347,8$

Rozważana liczba jest postaci

$3^{729}=10^{\log 3^{729}}\approx 10^{347,8}=10^{0,8}\cdot 10^{347}\approx \underset{\in ⟨1;10)}{\underbrace{6,3}}\cdot 10^{347}$

Zatem ta liczba ma $348$ cyfr.

---

c)

Obliczmy logarytm dziesiętny z podanej liczby

$\log 6^{600}=600\log 6=600\log \left(2\cdot 3\right)=600\left(\log 2+\log 3\right)=\dots$

Zauważmy, że

$$\begin{gathered} \log 2\approx 0,301 \\ \log 3\approx 0,4771 \end{gathered}$$

Stąd

$\dots \approx 600\cdot \left(0,301+0,4771\right)=600\cdot 0,7781=466,86$

Rozważana liczba jest postaci

$6^{600}=10^{\log 6^{600}}\approx 10^{466,86}=10^{0,86}\cdot 10^{466}\approx \underset{\in ⟨1;10)}{\underbrace{7,244}}\cdot 10^{466}$

Zatem ta liczba ma $467$ cyfry.