a)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{144}{169}+{\cos }^2\alpha =1 \\ {\cos }^2\alpha =\frac{25}{169},\cos \alpha >0 \\ \cos \alpha =\frac{5}{13} \end{gathered}$$

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{5} \end{gathered}$$

---

b)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\sin }^2\alpha +{\left(\frac{9}{41}\right)}^2=1 \\ {\sin }^2\alpha +\frac{81}{1681}=1 \\ {\sin }^2\alpha =\frac{1600}{1681},\sin \alpha >0 \\ \sin \alpha =\frac{40}{41} \end{gathered}$$

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}}=\frac{40}{9} \end{gathered}$$

---

c)

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{20}{21} \\ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{20}{21} \\ \sin \alpha =\frac{20}{21}\cos \alpha \end{gathered}$$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\left(\frac{20}{21}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{400}{441}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{841}{441}{\cos }^2\alpha =1 \\ {\cos }^2\alpha =\frac{441}{841},\cos \alpha >0 \\ \cos \alpha =\frac{21}{29} \end{gathered}$$

A więc

$\sin \alpha =\frac{20}{21}\cos \alpha =\frac{20}{21}\cdot \frac{21}{29}=\frac{20}{29}$

---

d)

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{15} \\ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{8}{15} \\ \sin \alpha =\frac{8}{15}\cos \alpha \end{gathered}$$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\left(\frac{8}{15}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{64}{225}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{289}{225}{\cos }^2\alpha =1 \\ {\cos }^2\alpha =\frac{225}{289},\cos \alpha >0 \\ \cos \alpha =\frac{15}{17} \end{gathered}$$

A więc

$\sin \alpha =\frac{8}{15}\cos \alpha =\frac{8}{15}\cdot \frac{15}{17}=\frac{8}{17}$

---

e)

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{11}{60} \\ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{11}{60} \\ \sin \alpha =\frac{11}{60}\cos \alpha \end{gathered}$$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\left(\frac{11}{60}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{121}{3600}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{3721}{3600}{\cos }^2\alpha =1 \\ {\cos }^2\alpha =\frac{3600}{3721},\cos \alpha >0 \\ \cos \alpha =\frac{60}{61} \end{gathered}$$

A więc

$\sin \alpha =\frac{11}{60}\cos \alpha =\frac{11}{60}\cdot \frac{60}{61}=\frac{11}{61}$

---

f)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{1}{25}+{\cos }^2\alpha =1 \\ {\cos }^2\alpha =\frac{24}{25},\cos \alpha >0 \\ \cos \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5} \end{gathered}$$

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12} \end{gathered}$$

---

g)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\sin }^2\alpha +{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=1 \\ {\sin }^2\alpha +\frac{9}{16}=1 \\ {\sin }^2\alpha =\frac{7}{16},\sin \alpha >0 \\ \sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} \end{gathered}$$

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{3} \end{gathered}$$

---

h)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy

$$\begin{gathered} {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1 \\ \frac{10}{16}+{\cos }^2\alpha =1 \\ {\cos }^2\alpha =\frac{6}{16},\cos \alpha >0 \\ \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{4} \end{gathered}$$

Z własności tangensa otrzymujemy

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{10}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{60}}{6}=\frac{2\sqrt{15}}{6}=\frac{\sqrt{15}}{3} \end{gathered}$$