Warunek wystarczający (dostateczny) istnienia ekstremum.   1. Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz f'(x) > 0 dla x ∈ (a, x0) i f'(x) < 0 dla x ∈ (x0, b), to f ma w punkcie x0 maksimum.   2. Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz f'(x) < 0 dla x ∈ (a, x0) i f'(x) > 0 dla x ∈ (x0, b), to f ma w punkcie x0 minimum.

---

---

a)

$f\left(x\right)=x^4-2x^2$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=4x^3-4x$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}4x^3-4x=0$

Rozwiązujemy równanie:

$4x^3-4x=0\mid :4$

$x^3-x=0$  

$x\left(x^2-1\right)=0$

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$    

$x=0\text{lub}x=1\text{lub}x=-1$

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-1,0,1\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-1,0\right)\cup \left(1,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,1\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀ ∈ {-1, 1} z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀ = -1 oraz x₀ = 1 równe:

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-2\cdot {\left(-1\right)}^2=1-2=-1=f\left(1\right)$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀ = 0 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀ = 0 równe: 

$f\left(0\right)=0^4-2\cdot 0^2=0$  

---

---

b)

$f\left(x\right)=3x^5-5x^3$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=15x^4-15x^2$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}15x^4-15x^2=0$

Rozwiązujemy równanie:

$15x^4-15x^2=0\mid :15$

$x^4-x^2=0$  

$x^2\left(x^2-1\right)=0$

$x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$    

$x=0\text{lub}x=1\text{lub}x=-1$

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-1,0,1\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,1\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀ = 1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀ = 1 równe:

$f\left(1\right)=3\cdot 1^5-5\cdot 1^3=3-5=-2$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀ = -1 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀ = -1 równe: 

$f\left(-1\right)=3\cdot {\left(-1\right)}^5-5\cdot {\left(-1\right)}^3=-3+5=2$  

---

---

c)

$f\left(x\right)=\frac{x^2+4}{{\left(x-2\right)}^2}$  

założenia:

$x-2\ne 0$  

$x\ne 2$  

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{2\right\}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{2x{\left(x-2\right)}^2-\left(x^2+4\right)\cdot 2\left(x-2\right)}{{\left(x-2\right)}^4}=$

$=\frac{2x\left(x^2-4x+4\right)-\left(x^2+4\right)\left(2x-4\right)}{{\left(x-2\right)}^4}=$

$=\frac{2x^3-8x^2+8x-2x^3+4x^2-8x+16}{{\left(x-2\right)}^4}=$   

$=\frac{-4x^2+16}{{\left(x-2\right)}^4}=\frac{-4\left(x^2-4\right)}{{\left(x-2\right)}^4}=\frac{-4\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{{\left(x-2\right)}^4},x\in \mathbb{R}\text{}\left\{2\right\}$

 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}\frac{-4\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{{\left(x-2\right)}^4}=0$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{-4\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{{\left(x-2\right)}^4}=0\mid \cdot {\left(x-2\right)}^4\ne 0$

$-4\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$  

$x=-2\text{lub}\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{x=2}$

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x=-2$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji y=-4(x-2)(x+2),  gdzie: x ≠ 2

Z wykresu funkcji odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-2,2\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀ = -2 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀ = -2 równe:

$f\left(-2\right)=\frac{{\left(-2\right)}^2+4}{{\left(-2-2\right)}^2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$