Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość d przekątnej prostokąta ABCD:

${\left(3x\right)}^2+{\left(4x\right)}^2=d^2$

$9x^2+16x^2=d^2$

$25x^2=d^2\text{i}d>0$

więc

$d=5x$

---

Rozważmy trójkąt ABD. 

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej dostajemy 

$\frac{\left|AK\right|}{\left|KB\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{a}{4x-a}=\frac{3x}{5x}$  

$\frac{a}{4x-a}=\frac{3}{5}\mid \cdot 5\cdot \left(4x-a\right)$  

$5a=3\left(4x-a\right)$  

$5a=12x-3a$  

$8a=12x\mid :8$  

$a=\frac{3}{2}x$  

więc

$\left|AK\right|=a=\frac{3}{2}x$

$\left|KB\right|=4x-a=\frac{5}{2}x$  

---

Rozważmy trójkąt BCD. 

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej dostajemy 

$\frac{\left|CM\right|}{\left|MB\right|}=\frac{\left|DC\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{b}{3x-b}=\frac{4x}{5x}$  

$\frac{b}{3x-b}=\frac{4}{5}\mid \cdot 5\cdot \left(3x-b\right)$

$5b=4\left(3x-b\right)$   

$5b=12x-4b$  

$9b=12x\mid :9$

$b=\frac{4}{3}x$   

więc

$\left|CM\right|=b=\frac{4}{3}x$

$\left|MB\right|=3x-b=\frac{5}{3}x$

---

Obliczamy pole prostokąta ABCD 

$P_{ABCD}=3x\cdot 4x=12x^2$

---

Obliczamy pola trójkątów prostokątnych AKD, KBM i CMD. 

Otrzymujemy 

$P_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot \left|AK\right|=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot \frac{3}{2}x=\frac{9}{4}{x}^2$  

$P_{KBM}=\frac{1}{2}\cdot \left|KB\right|\cdot \left|MB\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}x\cdot \frac{5}{3}x=\frac{25}{12}{x}^2$  

$P_{CMD}=\frac{1}{2}\cdot \left|CM\right|\cdot \left|DC\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}x\cdot 4x=\frac{8}{3}{x}^2$  

Obliczamy pole trójkąta DKM. 

Zauważmy, że pole tego trójkąta jest równe różnicy pola prostokąta ABCD i trójkątów prostokątnych AKD, KBM i CMD, zatem mamy

$P_{DKM}=P_{ABCD}-P_{AKD}-P_{KBM}-P_{CMD}=12x^2-\frac{9}{4}{x}^2-\frac{25}{12}{x}^2-\frac{8}{3}{x}^2=$

$=12x^2-\frac{27}{12}{x}^2-\frac{25}{12}{x}^2-\frac{32}{12}{x}^2=\frac{60}{12}{x}^2=5x^2$  

---

Obliczamy stosunek pola prostokąta ABCD do pola trójkąta DKM

$\frac{P_{ABCD}}{P_{DKM}}=\frac{12x^2}{5x^2}=\frac{12}{5}$  

 

Odp. Stosunek pola prostokąta ABCD do pola trójkąta DKM jest równy 12 : 5.