Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

---

Rozważmy trójkąty ABP i CDP. 

Podstawy trapezu AB i CD są równoległe więc

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|$

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle BDC\right|$

(jako pary równych kątów naprzemianległych wewnętrznych)  

Zatem na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt te trójkąty są podobne. 

Skala k podobieństwa trójkąta ABP do trójkąta CDP jest równa 

$k=\frac{a}{b}$

skąd mamy 

$\left|AP\right|=\frac{a}{b}\cdot \left|PC\right|$  

$\left|BP\right|=\frac{a}{b}\cdot \left|PD\right|$  

---

Rozważmy trójkąty AMP i ADC. 

Proste MP i CD są równoległe, więc

$\left|\sphericalangle AMP\right|=\left|\sphericalangle ADC\right|$

$\left|\sphericalangle MPA\right|=\left|\sphericalangle DCA\right|$

(jako pary równych kątów odpowiadających)  

Zatem na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt te trójkąty są podobne.

Skąd mamy 

$\frac{\left|MP\right|}{\left|AP\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{\left|MP\right|}{\frac{a}{b}\cdot \left|PC\right|}=\frac{b}{\left|AP\right|+\left|PC\right|}$  

$\frac{\left|MP\right|}{\frac{a}{b}\cdot \left|PC\right|}=\frac{b}{\frac{a}{b}\cdot \left|PC\right|+\left|PC\right|}$  

$\frac{\left|MP\right|}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{\frac{a}{b}+1}$  

$\left|MP\right|=\frac{b\cdot \frac{a}{b}}{\frac{a}{b}+1}=\frac{a}{\frac{a+b}{b}}=\frac{ab}{a+b}$  

---

Rozważmy trójkąty BNP i BDC. 

Proste PN i CD są równoległe, więc

$\left|\sphericalangle BNP\right|=\left|\sphericalangle BCD\right|$

$\left|\sphericalangle NPB\right|=\left|\sphericalangle CDB\right|$

(jako pary równych kątów odpowiadających)  

Zatem na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt te trójkąty są podobne.

Skąd mamy 

$\frac{\left|NP\right|}{\left|BP\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{\left|NP\right|}{\frac{a}{b}\cdot \left|PD\right|}=\frac{b}{\left|BP\right|+\left|PD\right|}$  

$\frac{\left|NP\right|}{\frac{a}{b}\cdot \left|PD\right|}=\frac{b}{\frac{a}{b}\cdot \left|PD\right|+\left|PD\right|}$  

$\frac{\left|NP\right|}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{\frac{a}{b}+1}$  

$\left|NP\right|=\frac{b\cdot \frac{a}{b}}{\frac{a}{b}+1}=\frac{a}{\frac{a+b}{b}}=\frac{ab}{a+b}$  

---

Zatem otrzymujemy, ze

$\left|MP\right|=\left|NP\right|$  

c.n.d.