Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Obracając sześciokąt foremny wokół prostej zawierającą dłuższą przekątną sześciokąta, otrzymamy bryłę złożoną z walca i dwóch stożków.

---

Rozważmy:

• W walec o promieniu podstawy r i wysokości a. 
• S stożek o promieniu podstawy r i tworzącej a.

---

Przypomnijmy, że sześciokąt foremny o boku długości a możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych. Krótsza przekątna x sześciokąta jest dwa razy dłuższa od wysokości w tym trójkącie, czyli

$x=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$  

Zauważmy, że długość promienia podstawy r walca W i stożka S jest równa połowie długości krótszej przekątnej sześciokąta, czyli 

$r=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej walca W:

$P_{b_W}=2\pi \cdot r\cdot a=2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a=a^2\sqrt{3}\pi$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka S:

$P_{b_S}=\pi \cdot r\cdot a=\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2\pi$  

---

Zauważmy, że pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest równe sumie pola powierzchni bocznej walca W i podwojonego pola powierzchni bocznej stożka S, czyli:

$P=P_{b_W}+2P_{b_S}=a^2\sqrt{3}\pi +2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2\pi =a^2\sqrt{3}\pi +\sqrt{3}{a}^2\pi =2\sqrt{3}\pi a^2$