Poniżej rysunek przekroju osiowego stożka 

---

a)

Rozważmy trójkąt prostokątny BCS. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

$H^2+r^2={\left(3r\right)}^2$  

$H^2+r^2=9r^2$  

$H^2=8r^2\text{i}H>0$  

więc

$H=2\sqrt{2}r$  

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy

$\text{tg}\alpha =\frac{H}{r}=\frac{2\sqrt{2}r}{r}=2\sqrt{2}$  

---

b)

Wiedząc, że objętość stożka jest równa 72𝜋 dostajemy 

$\frac{1}{3}\pi r^{2}H=72\pi$  

$\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 2\sqrt{2}r=72\pi$  

$\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi r^3=72\pi \mid :\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$  

$r^3=\frac{72\pi }{\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi }=\frac{108}{\sqrt{2}}=54\sqrt{2}$  

więc 

$r=\sqrt[3]{54\sqrt{2}}=\sqrt[3]{27\cdot 2\cdot \sqrt{2}}=3\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=3\sqrt[3]{2^{\frac{3}{2}}}=3\cdot 2^{\frac{1}{2}}=3\sqrt{2}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P=\pi r\left(r+l\right)=\pi r\left(r+3r\right)=\pi r\cdot 4r=4\pi r^2=4\pi \cdot {\left(3\sqrt{2}\right)}^2=4\pi \cdot 18=72\pi$