Rysunek pomocniczy:

---

Wyznaczymy równanie prostej SP. 

Wiedząc, że prosta y = x - 2 jest prostopadła do prostej SP wyznaczamy współczynnik kierunkowy a tej prostej 

$a\cdot 1=-1\Rightarrow a=-1$  

czyli prosta SP jest postaci 

$SP:y=-x+b$  

Ponadto wiadomo, że do wykresu tej prostej należy punkt P=(4,2), skąd mamy 

$2=-4+b\Rightarrow b=6$

więc

$SP:y=-x+6$  

---

Środek okręgu S leży na prostej SP, czyli jego współrzędne możemy zapisać następująco:

$S=\left(x_s,-x_s+6\right)$   

---

Korzystając ze wzoru na długość odcinka obliczamy długości odcinków AS i PS:

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(x_s+1\right)}^2+{\left(-x_s+6-1\right)}^2}=\sqrt{x_s^2+2x_s+1+{\left(5-x_s\right)}^2}=$  

$=\sqrt{x_s^2+2x_s+1+25-10x_s+x_s^2}=\sqrt{2x_s^2-8x_s+26}$  

$\left|PS\right|=\sqrt{{\left(x_s-4\right)}^2+{\left(-x_s+6-2\right)}^2}=\sqrt{x_s^2-8x_s+16+{\left(4-x_s\right)}^2}=$  

$=\sqrt{x_s^2-8x_s+16+16-8x_s+x_s^2}=\sqrt{2x_s^2-16x_s+32}$  

---

Zauważmy, że odcinki AS i PS są równej długości 

$\left|AP\right|=\left|PS\right|$  

$\sqrt{2x_s^2-8x_s+26}=\sqrt{2x_s^2-16x_s+32}\mid {}^2$  

$2x_s^2-8x_s+26=2x_s^2-16x_s+32$  

$8x_s=6\mid :8$  

$x_s=\frac{3}{4}$  

czyli 

$S=\left(x_s,-x_s+6\right)=\left(\frac{3}{4},-\frac{3}{4}+6\right)=\left(\frac{3}{4},\frac{21}{4}\right)$