Treść:

Ostrosłupy prawidłowe trójkątne O₁ i O₂ mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa O₁ jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa O₂. Stosunek objętości ostrosłupa O₁ do objętości ostrosłupa O₂ jest równy:

A. 3 : 1

B. 1 : 3

C. 9 : 1 

D. 1 :9 

---

Rozwiązanie:

Przypomnijmy, że ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny.

Wprowadźmy oznaczenia:

H- wysokość każdego z ostrosłupów O₁ i O₂;

a- długość krawędzi podstawy ostrosłupa O₂;

3a- długość krawędzi podstawy ostrosłupa O₁.

Obliczmy objętość ostrosłupa O₁:

$V_1=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\left(3a\right)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=$  

$=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}{a}^2}{4}\cdot H=\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^{2}H$  

Obliczmy objętość ostrosłupa O₂:

$V_2=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}H$  

Obliczmy objętości ostrosłupa O₁ do objętości ostrosłupa O₂

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^{2}H}{\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}H}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{12}}=$   

$=\frac{3\sqrt{3}}{{\cancel{4}}_1}\cdot \frac{{\cancel{12}}^3}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=9$  

czyli szukany stosunek objętości to: 9 : 1. 

 

Odp. C.