a) Samochód jadący z prędkością  $40\frac{\text{km}}{\text{h}}$  będziemy nazywać pierwszym, a drugi drugim.

Zapisujemy drogę przebytą przez pierwszy samochód w czasie  $t:$  

$s_1=40t$      $\left(t>0\right)$    

Obliczamy drogę przebytą przez drugi samochód w czasie  $t:$  

$s_2=60t$    

Obliczamy, w jakiej wówczas odległości od punktu  $P$  będzie drugi samochód:

$x=5-60t$      $(x>0$    zatem    $t<\frac{1}{12}\text{)}$  

Chcemy, by odległość samochodów  $d$  była najmniejsza. Wyznaczamy ją, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$d^2=s_1^2+x^2$  

$d^2={\left(40t\right)}^2+{\left(5-60t\right)}^2$  

$d^2=1600t^2+25-600t+3600t^2$  

$d^2=5200t^2-600t+25$  

$y=d\left(t\right)$  

więc:

$d\left(t\right)=\sqrt{5200t^2-600t+25}$  

Odp. Szukany wzór funkcji jest postaci  $d\left(t\right)=\sqrt{5200t^2-600t+25}$ .  

 

b) Na podstawie rozwiązania podpunktu a) wiemy, że:

$d^2=5200t^2-600t+25$

Oznaczmy prawą stronę jako funkcję zmiennej  $t.$  

$f\left(t\right)=5200t^2-600t+25$  

Odległość  $d$  będzie najmniejsza, kiedy funkcja  $f$  będzie przyjmowała wartość najmniejszą.

Będzie tak w wierzchołku paraboli. Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$p=-\frac{b}{2a}$  

$p=\frac{600}{2\cdot 5200}=\frac{3}{52}$  

$q=-\frac{\Delta }{4a}$  

$\Delta ={600}^2-4\cdot 25\cdot 5200=360000-520000=-160000$  

$q=\frac{160000}{4\cdot 5200}=\frac{160000}{20800}\approx 7,69$  

Mamy więc:

$d^2=7,69$  

$d\approx 2,77\approx 2,8$  

Odp. Odległość między samochodami będzie najmniejsza po upływie  $\frac{3}{52}\text{h}.$  

Będzie ona wówczas wynosiła  $2,8\text{km}.$