$a\text{)}\left|\left|x+2\right|-3\right|-4=p$  

1. Rysujemy wykres funkcji:

$g\left(x\right)=x+2$  

w tym celu sporządzamy tabelę:

x	-2	0
y	0	2

2. Odbijamy część wykresu funkcji y=g(x), która znajduje się pod osią OX symetrycznie względem osi OX i otrzymujemy wykres funkcji

$h\left(x\right)=\left|x+2\right|$  

3. Przesuwamy wykres funkcji y=h(x) o wektor [0, -3] -wówczas powstaje wykres funkcji:

$i\left(x\right)=\left|x+2\right|-3$  

4. Odbijamy część wykresu funkcji y=i(x), która znajduje się pod osią OX symetrycznie względem osi OX i otrzymujemy wykres funkcji

$j\left(x\right)=\left|\left|x+2\right|-3\right|$  

5. Przesuwamy wykres funkcji y=j(x) o wektor [0, -4] -wówczas powstaje wykres funkcji:

$k\left(x\right)=\left|\left|x+2\right|-3\right|-4$  

Wyznaczmy liczbę rozwiązań równania  $k\left(x\right)=p$  w zależności od parametru  $p\in \mathbb{R}$  

$1\text{)}$  Równanie   $k\left(x\right)=p$  nie ma rozwiązań dla  $p\in \left(-\infty ,-4\right)$

$2\text{)}$   Równanie   $k\left(x\right)=p$  ma 2 rozwiązania dla  $p\in \left\{-4\right\}\cup \left(-1,+\infty \right)$

$3\text{)}$  Równanie  $k\left(x\right)=p$  ma 3 rozwiązania dla  $p\in \left\{-1\right\}$

$4\text{)}$  Równanie  $k\left(x\right)=p$  ma 4 rozwiązania dla  $p\in \left(-4,-1\right)$

zatem liczbę rozwiązań równania:

$\left|\left|x+2\right|-3\right|-4=p$  

możemy zapisać za pomocą funkcji:

$f\left(p\right)=\{\begin{array}{l}0\text{gdy}p\in \left(-\infty ,-4\right)\\ 2\text{gdy}p\in \left\{-4\right\}\cup \left(-1,+\infty \right)\\ 3\text{gdy}p\in \left\{-1\right\}\\ 4\text{gdy}p\in \left(-4,-1\right)\end{array}$  

---

$b\text{)}\left|\left|x-3\right|-4\right|+1=\frac{1-2p}{3}$  

1. Rysujemy wykres funkcji:

$g\left(x\right)=x-3$  

w tym celu sporządzamy tabelę:

x	0	3
y	-3	0

2. Odbijamy część wykresu funkcji y=g(x), która znajduje się pod osią OX symetrycznie względem osi OX i otrzymujemy wykres funkcji

$h\left(x\right)=\left|x-3\right|$  

3. Przesuwamy wykres funkcji y=h(x) o wektor [0, -4] -wówczas powstaje wykres funkcji:

$i\left(x\right)=\left|x-3\right|-4$  

4. Odbijamy część wykresu funkcji y=i(x), która znajduje się pod osią OX symetrycznie względem osi OX i otrzymujemy wykres funkcji

$j\left(x\right)=\left|\left|x-3\right|-4\right|$  

5. Przesuwamy wykres funkcji y=h(x) o wektor [0, 1] -wówczas powstaje wykres funkcji:

$k\left(x\right)=\left|\left|x-3\right|-4\right|+1$  

Wyznaczmy liczbę rozwiązań równania  $k\left(x\right)=m$  w zależności od parametru  $m\in \mathbb{R}$  

$1\text{)}$  Równanie   $k\left(x\right)=m$  nie ma rozwiązań dla  $m\in \left(-\infty ,1\right)$

$2\text{)}$   Równanie   $k\left(x\right)=m$  ma 2 rozwiązania dla  $m\in \left\{1\right\}\cup \left(5,+\infty \right)$

$3\text{)}$  Równanie  $k\left(x\right)=m$  ma 3 rozwiązania dla  $m\in \left\{5\right\}$

$4\text{)}$  Równanie  $k\left(x\right)=m$  ma 4 rozwiązania dla  $m\in \left(1,5\right)$

 

Przyjmijmy teraz oznaczenie:

$\frac{1-2p}{3}=m$  

Stąd:

$1\text{)}$  Równanie   $k\left(x\right)=p$  nie ma rozwiązań dla:

$\frac{1-2p}{3}<1$  

$1-2p<3$  

$-2p<2$  

$p>-1$  

czyli  $p\in \left(-1,+\infty \right)$  

$2\text{)}$  Równanie   $k\left(x\right)=p$  ma 2 rozwiązania dla:

$\frac{1-2p}{3}=1\vee \frac{1-2p}{3}>5$  

$1-2p=3\vee 1-2p>15$  

$-2p=2\vee -2p>14$  

$p=-1\vee p<-7$  

czyli  $p\in \left\{-1\right\}\cup \left(-\infty ,-7\right)$  

$3\text{)}$  Równanie   $k\left(x\right)=p$  ma 3 rozwiązania dla:

$\frac{1-2p}{3}=5$  

$1-2p=15$  

$-2p=14$  

$p=-7$  

czyli  $p=-7$  

$4\text{)}$  Równanie   $k\left(x\right)=p$  ma 4 rozwiązania dla:

$\frac{1-2p}{3}>1\wedge \frac{1-2p}{3}<5$  

$1-2p>3\wedge 1-2p<15$  

$-2p>2\wedge -2p<14$  

$p<-1\wedge p>-7$  

czyli  $p\in \left(-7,-1\right)$  

 

zatem liczbę rozwiązań równania:

$\left|\left|x+2\right|-3\right|-4=\frac{1-2p}{3}$  

możemy zapisać za pomocą funkcji:

$f\left(p\right)=\{\begin{array}{l}0\text{gdy}p\in \left(-1,+\infty \right)\\ 2\text{gdy}p\in \left\{-1\right\}\cup \left(-\infty ,-7\right)\\ 3\text{gdy}p\in \left\{-7\right\}\\ 4\text{gdy}p\in \left(-7,-1\right)\end{array}$