$a\text{)}\left|x+3\right|>5-\left|x\right|$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

$\left|x+3\right|=\{\begin{array}{ll}x+3& \text{dla}x\ge -3\\ -x-3& \text{dla}x<-3\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<-3:$  

$-x-3>5-\left(-x\right)$  

$-x-3>5+x$  

$-2x>8\text{/}:\left(-2\right)$  

$x<-4$   

$x\in \left(-\infty ,-4\right)$  

 

dla  $x\in ⟨-3,0):$  

$x+3>5-\left(-x\right)$  

$x+3>5+x$  

$3>5-$  sprzeczność 

 

dla  $x\ge 0:$   

$x+3>5-x$  

$2x>2\text{/}:2$  

$x>1$  

$x\in \left(1,+\infty \right)$  

 

Stąd: 

$x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(1,+\infty \right)$   

---

$\text{b)}\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-8x+16}\le 6$  

$\sqrt{{\left(x+2\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-4\right)}^2}\le 6$  

$\left|x+2\right|+\left|x-4\right|\le 6$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-4\right|=\{\begin{array}{ll}x-4& \text{dla}x\ge 4\\ -x+4& \text{dla}x<4\end{array}$   

$\left|x+2\right|=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{dla}x\ge -2\\ -x-2& \text{dla}x<-2\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<-2:$  

$-x-2-x+4\le 6$  

$-2x\le 4\text{/}:\left(-2\right)$  

$x\ge -2$  

 

dla  $x\in ⟨-2,4)$  

$x+2-x+4\le 6$  

$6\le 6$  

$x\in ⟨-2,4)$  

 

dla  $x\ge 4:$  

$x+2+x-4\le 6$  

$2x\le 8\text{/}:2$  

$x\le 4$  

$x=4$  

 

Stąd:

$x\in ⟨-2,4⟩$  

---

$\text{c)}\left|-x-3\right|+\left|3-x\right|+4>0$  

$\left|x+3\right|+\left|x-3\right|>-4$  

Po lewej stronie mamy sumę wartości bezwzględnych dwóch liczb, więc jest to na pewno liczba nieujemna.

Po prawej stronie mamy liczbę ujemną.

Oznacza to, że powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego  $x\in \mathbf{R}.$  

---

$\text{d)}\left|x-1\right|+\sqrt{4x^2-20x+25}\le 9$   

$\left|x-1\right|+\sqrt{{\left(2x-5\right)}^2}\le 9$  

$\left|x-1\right|+\left|2x-5\right|\le 9$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|2x-5\right|=\{\begin{array}{ll}2x-5& \text{dla}x\ge \frac{5}{2}\\ -2x+5& \text{dla}x<\frac{5}{2}\end{array}$   

$\left|x-1\right|=\{\begin{array}{ll}x-1& \text{dla}x\ge 1\\ -x+1& \text{dla}x<1\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<1:$  

$-x+1-2x+5\le 9$  

$-3x\le 3\text{/}:\left(-3\right)$  

$x\ge -1$  

$x\in ⟨-1,1)$  

 

dla  $x\in ⟨1,\frac{5}{2}):$    

$x-1-2x+5\le 9$  

$-x\le 5\text{/}\cdot \left(-1\right)$  

$x\ge -5$  

$x\in ⟨1,\frac{5}{2})$  

 

dla  $x\ge \frac{5}{2}:$    

$x-1+2x-5\le 9$  

$3x\le 15\text{/}:3$  

$x\le 5$  

$x\in ⟨\frac{5}{2},5⟩$  

 

Stąd:

$x\in ⟨-1,5⟩$    

---

$\text{e)}\left|x+5\right|-7\le x-\left|x-1\right|$  

$\left|x+5\right|+\left|x-1\right|\le x+7$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-1\right|=\{\begin{array}{ll}x-1& \text{dla}x\ge 1\\ -x+1& \text{dla}x<1\end{array}$   

$\left|x+5\right|=\{\begin{array}{ll}x+5& \text{dla}x\ge -5\\ -x-5& \text{dla}x<-5\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<-5:$  

$-x-5-x+1\le x+7$  

$-2x-4\le x+7$  

$-3x\le 11\text{/}:\left(-3\right)$  

$x\ge -\frac{11}{3}$  

$x\ge -3\frac{2}{3}$  

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

 

dla  $x\in ⟨-5,1):$  

$x+5-x+1\le x+7$  

$6\le x+7$  

$-1\le x$  

$x\ge -1$  

$x\in ⟨-1,1)$  

 

dla  $x\ge 1:$  

$x+5+x-1\le x+7$     

$2x+4\le x+7$  

$x\le 3$  

$x\in ⟨1,3⟩$  

 

Stąd:

$x\in ⟨-1,3⟩$   

---

$\text{f)}3\left|x-3\right|-4\le x-\left|5+x\right|$  

$3\left|x-3\right|+\left|x+5\right|\le x+4$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-3\right|=\{\begin{array}{ll}x-3& \text{dla}x\ge 3\\ 3-x& \text{dla}x<3\end{array}$   

$\left|x+5\right|=\{\begin{array}{ll}x+5& \text{dla}x\ge -5\\ -x-5& \text{dla}x<-5\end{array}$   

Zatem:

dla  $x<-5:$  

$3\cdot \left(3-x\right)+\left(-x-5\right)\le x+4$  

$9-3x-x-5\le x+4$  

$-5x+4\le 4$  

$-5x\le 0$  

$x\ge 0$  

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

 

dla  $x\in ⟨-5,3):$  

$3\cdot \left(3-x\right)+\left(x+5\right)\le x+4$  

$9-3x+x+5\le x+4$  

$-3x+14\le 4$  

$-3x\le -10$  

$x\ge \frac{10}{3}$  

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

 

dla  $x\ge 3:$  

$3\cdot \left(x-3\right)+\left(x+5\right)\le x+4$  

$3x-9+x+5\le x+4$  

$4x-4\le x+4$  

$3x-4\le 4$  

$3x\le 8$  

$x\le \frac{8}{3}$  

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

Stąd ta nierówność jest sprzeczna.