$a\text{)}\left|x\right|+1=\left|x+1\right|$  

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x& \text{dla}& x\ge 0\\ -x& \text{gdy}& x<0\end{array}\end{array}$

$|x+1|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x+1& \text{dla}& x+1\ge 0\\ -(x+1)& \text{gdy}& x-1<0\end{array}=\end{array}\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x+1& \text{dla}& x\ge -1\\ -x-1& \text{gdy}& x<1\end{array}\end{array}$

Rozważmy 3 przypadki:

$1\text{)}x\in \left(-\infty ,-1\right)$  

$-x+1=-x-1$  

$1\ne -1$  

brak rozwiązań

$2\text{)}x\in ⟨-1,0)$  

$-x+1=x+1$  

$-2x=0$  

$x=0\notin ⟨-1,0)$  

$3\text{)}x\in ⟨0,+\infty )$  

$x+1=x+1$  

$0=0$

więc

$x\in ⟨0,+\infty )$ 

Podsumowując:

$x\in ⟨0,+\infty )$   

---

$b\text{)}3\left|x-4\right|=\left|2x+5\right|$  

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x-4|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x-4& \text{dla}& x-4\ge 0\\ -(x-4)& \text{gdy}& x-4<0\end{array}=\end{array}\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x-4& \text{dla}& x\ge 4\\ 4-x& \text{gdy}& x<4\end{array}\end{array}$

$|2x+5|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}2x+5& \text{dla}& 2x+5\ge 0\\ -(2x+5)& \text{gdy}& 2x+5<0\end{array}=\end{array}\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}2x+5& \text{dla}& x\ge -\frac{5}{2}\\ -2x-5& \text{gdy}& x<-\frac{5}{2}\end{array}\end{array}$

Rozważmy 3 przypadki:

$1\text{)}x\in \left(-\infty ,-\frac{5}{2}\right)$  

$3\left(-x+4\right)=-2x-5$

$3\left(4-x\right)=-2x-5$  

$12-3x=-2x-5$  

$-x=-17$  

$x=17\notin \left(-\infty ,-\frac{5}{2}\right)$   

$2\text{)}x\in ⟨-\frac{5}{2},4)$  

$3\left(4-x\right)=2x+5$  

$12-3x=2x+5$  

$-5x=-7$  

$x=\frac{7}{5}$  

$x=1\frac{2}{5}\in ⟨-\frac{5}{2},4)$  

$3\text{)}x\in ⟨4,+\infty )$  

$3\left(x-4\right)=2x+5$  

$3x-12=2x+5$  

$x=17\in ⟨4,+\infty )$

Podsumowując:

$x\in \left\{1\frac{2}{5},17\right\}$  

---

$c\text{)}\left(\left|x\right|-1\right)\left(\left|x\right|+1\right)=24$  

${\left|x\right|}^2-1^2=24$  

${\left|x\right|}^2-1=24$  

${\left|x\right|}^2=25$  

$x^2=25$

$x=5\vee x=-5$  

więc:

$x\in \left\{-5,5\right\}$  

---

$d\text{)}\left|x+3\right|+\left|4x+12\right|=0$  

$\left|x+3\right|+4\left|x+3\right|=0$  

$5\left|x+3\right|=0$  

$\left|x+3\right|=0$  

$x+3=0$  

więc:

$x=-3$  

---

$e\text{)}1-\left|3x+2\right|=x$  

$-\left|3x+2\right|=x-1$  

$\left|3x+2\right|=1-x$  

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|3x+2|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}3x+2& \text{dla}& 3x+2\ge 0\\ -(3x+2)& \text{gdy}& 3x+2<0\end{array}=\end{array}\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}3x+2& \text{dla}& x\ge -\frac{2}{3}\\ -3x-2& \text{gdy}& x<-\frac{2}{3}\end{array}\end{array}$

Rozważmy 2 przypadki:
$1)x\in \left(-\infty ,-\frac{2}{3}\right)$

$-3x-2=1-x$

$-2x=3$

$x=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}\in \left(-\infty ,-\frac{2}{3}\right)$

$2)x\in ⟨-\frac{2}{3},+\infty )$

$3x+2=1-x$

$4x=-1$

$x=-\frac{1}{4}\in ⟨-\frac{2}{3},+\infty )$

więc:

$x\in \left\{-1\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right\}$  

---

$f\text{)}\left|1-x\right|-\left|x+3\right|=-x-2$  

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|1-x|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}1-x& \text{dla}& 1-x\ge 0\\ -(1-x)& \text{gdy}& 1-x<0\end{array}=\end{array}\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}1-x& \text{dla}& x\le 1\\ x-1& \text{gdy}& x>1\end{array}\end{array}$

$|x+3|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x+3& \text{dla}& x+3\ge 0\\ -(x+3)& \text{gdy}& x+3<0\end{array}=\end{array}\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x+3& \text{dla}& x\ge -3\\ -x-3& \text{gdy}& x<-3\end{array}\end{array}$

Rozważmy 3 przypadki:

$1\text{)}x\in \left(-\infty ,-3\right)$  

$1-x-\left(-x-3\right)=-x-2$  

$1-x+x+3=-x-2$  

$4=-x-2$  

$-x=6$  

$x=-6\in \left(-\infty ,-3\right)$  

$2\text{)}x\in ⟨-3,1⟩$  

$1-x-\left(x+3\right)=-x-2$  

$1-x-x-3=-x-2$  

$-2x-2=-x-2$  

$-x=0$  

$x=0\in ⟨-3,1⟩$  

$2\text{)}x\in \left(1,+\infty \right)$  

$x-1-\left(x+3\right)=-x-2$  

$x-1-x-3=-x-2$  

$-4=-x-2$  

$-x=-2$  

$x=2\in \left(1,+\infty \right)$  

Podsumowując:

$x\in \left\{-6,0,2\right\}$