Wykaż, że jeśli liczby...- Zadanie 8.296: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wiemy, że:

$x < 0 \land y < 0$

Udowodnimy, że prawdziwa jest nierówność:

$27 x^{3} + 8 y^{3} < [4 x^{2} - 1 - 2 y (4 x - y)] \cdot (2 y + 3 x)$

Korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów:

$(3 x + 2 y) (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2}) < [4 x^{2} - 1 - 8 x y + 2 y^{2}] \cdot (3 x + 2 y) ∣ : (3 x + 2 y), (3 x + 2 y < 0)$

$9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} > 4 x^{2} - 1 - 8 x y + 2 y^{2}$

$5 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} > - 1$

$4 x^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2} + y^{2} > - 1$

$4 x^{2} + (x + y)^{2} + y^{2} > - 1$

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem lewa strona tej nierówności jest liczbą nieujemną, a prawa strona tej nierówności jest równa $- 1$ (czyli jest liczbą ujemną), zatem podana nierówność jest spełniona dla $x, y < 0$

c.n.w.