$a\text{)}\left(4x^2+4x+1\right)\left(2x^2-5x-3\right)\left(3-x\right)<0$  

Sprawdźmy czy trójmian  $2x^2-5x-3$  ma pierwiastki:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$  

zatem:

$2x^2-5x-3=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-3\right)$  

więc podaną nierówność możemy zapisać w następujący sposób:

${\left(2x+1\right)}^2\left(2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-3\right)\right)\left(3-x\right)<0$  

$-2{\left(2x+1\right)}^2\left(x+\frac{1}{2}\right){\left(x-3\right)}^2<0$  

${\left(2x+1\right)}^2\left(x+\frac{1}{2}\right){\left(x-3\right)}^2>0$  

Wyznaczmy pierwiastki równania:

${\left(2x+1\right)}^2\left(x+\frac{1}{2}\right){\left(x-3\right)}^2=0$  

${\left(2x+1\right)}^2=0\vee x+\frac{1}{2}=0\vee {\left(x-3\right)}^2=0$  

$2x+1=0\vee x=-\frac{1}{2}\vee x-3=0$  

$x=-\frac{1}{2}\vee x=-\frac{1}{2}\vee x=3$  

Pierwiastki o parzystej krotności to:  $3$  . Zauważmy, że $x=-\frac{1}{2}$ ma krotność trzy.

zatem:

Korzystając z rysunku możemy odczytać rozwiązania powyższej nierówności:

$x\in \left(-\frac{1}{2},3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

---

$b\text{)}{\left(3x-x^2\right)}^2\left(-2-2x-x^2\right)\left(x-3\right)\le 0$  

Sprawdźmy czy trójmian  $-2-2x-x^2$  ma pierwiastki:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=4-8<0$  

zatem ten trójmian jest nierozkładalny.

więc podaną nierówność możemy zapisać w następujący sposób:

$-{\left(3x-x^2\right)}^2\left(2+2x+x^2\right)\left(x-3\right)\le 0$  

${\left(3x-x^2\right)}^2\left(2+2x+x^2\right)\left(x-3\right)\ge 0$  

${\left[x\cdot \left(3-x\right)\right]}^2\left(2+2x+x^2\right)\left(x-3\right)\ge 0$

$x^2{\left(3-x\right)}^2\left(2+2x+x^2\right)\left(x-3\right)\ge 0$  

Wyznaczmy pierwiastki równania:

$x^2{\left(3-x\right)}^2\left(2+2x+x^2\right)\left(x-3\right)=0$  

$x^2=0\vee {\left(3-x\right)}^2=0\vee x-3=0$  

$x=0\vee 3-x=0\vee x=3$  

$x=0\vee x=3\vee x=3$  

Pierwiastek o parzystej krotności to:  $0$  

Pierwiastek o nieparzystej krotności to: $3$  

zatem:

Korzystając z rysunku możemy odczytać rozwiązania powyższej nierówności:

$x\in \left\{0\right\}\cup ⟨3,+\infty )$  

---

$c\text{)}\left(27-x^3\right){\left(x-2\right)}^4{\left(5-x\right)}^3>0$  

Wyznaczmy pierwiastki równania:

$\left(27-x^3\right){\left(x-2\right)}^4{\left(5-x\right)}^3=0$  

$27-x^3=0\vee {\left(x-2\right)}^4=0\vee {\left(5-x\right)}^3=0$  

$x^3=27\vee x-2=0\vee 5-x=0$  

$x=3\vee x=2\vee x=5$  

Pierwiastek o parzystej krotności to:  $2$  

Pierwiastki o nieparzystej krotności to: $3,5$  

zatem:

Korzystając z rysunku możemy odczytać rozwiązania powyższej nierówności:

$x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(2,3\right)\cup \left(5,+\infty \right)$  

---

$d\text{)}{\left(x^2-x-6\right)}^2\left(x^2-6x+9\right)\left(x^2+4\right)>0$  

Zauważmy, że:

$x^2+4>0,x\in \mathbb{R}$  

więc:

${\left(x^2-x-6\right)}^2\left(x^2-6x+9\right)\left(x^2+4\right)>0\mid :\left(x^2+4\right)$  

${\left(x^2-x-6\right)}^2\left(x^2-6x+9\right)>0$  

Sprawdźmy czy trójmian  $x^2-x-6$  ma pierwiastki:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

zatem:

$x^2-x-6=\left(x+2\right)\left(x-3\right)$  

więc podaną nierówność możemy zapisać w następujący sposób:

${\left(x+2\right)}^2{\left(x-3\right)}^2\left(x^2-6x+9\right)>0$  

${\left(x+2\right)}^2{\left(x-3\right)}^2{\left(x-3\right)}^2>0$  

${\left(x+2\right)}^2{\left(x-3\right)}^4>0$  

Wyznaczmy pierwiastki równania:

${\left(x+2\right)}^2{\left(x-3\right)}^4=0$  

$x+2=0\vee x-3=0$  

$x=-2\vee x=3$  

Pierwiastki o parzystej krotności to: $-2,3$  

zatem:

Korzystając z rysunku możemy odczytać rozwiązania powyższej nierówności:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-2,3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

---

$e\text{)}\left(2-x\right)\left(x^3-7x+6\right)<0$  

Sprawdźmy czy wielomian  $W\left(x\right)=x^3-7x+6$  ma pierwiastki:

Wielomian ten ma wszystkie współczynniki całkowite, zatem możemy skorzystać z twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu, więc pierwiastków będziemy szukać w zbiorze:

$\left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

$W\left(-6\right)={\left(-6\right)}^3-7\cdot \left(-6\right)+6=-168\ne 0$  

$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3-7\cdot \left(-3\right)+6=0$  

Liczba  $-3$  jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem wielomian ten jest podzielny przez dwumian  $x+3$  .

Wykonujemy dzielenie stosując algorytm Hornera:

	$1$	$0$	$-7$	$6$
$-3$		$-3$	$9$	$-6$
	$1$	$-3$	$2$	$0$

Wynikiem tego dzielenia jest wielomian:

$P\left(x\right)=x^2-3x+2$  

Sprawdźmy czy wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

zatem:

$x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$  

więc podaną nierówność możemy zapisać w następujący sposób:

$\left(2-x\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)<0$  

$-{\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)\left(x-1\right)<0$  

${\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)\left(x-1\right)>0$  

Wyznaczmy pierwiastki równania:

${\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$  

$x-2=0\vee x+3=0\vee x-1=0$  

$x=2\vee x=-3\vee x=1$  

Pierwiastek o parzystej krotności to: $2$  

Pierwiastki o nieparzystej krotności to: $-3,1$  

zatem:

Korzystając z rysunku możemy odczytać rozwiązania powyższej nierówności:

$x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(1,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

$f\text{)}\left(4-x\right)\left(x^3-13x-12\right)\ge 0$  

Sprawdźmy czy wielomian  $W\left(x\right)=x^3-13x-12$  ma pierwiastki:

Wielomian ten ma wszystkie współczynniki całkowite, zatem możemy skorzystać z twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu, więc pierwiastków będziemy szukać w zbiorze:

$\left\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\right\}$  

$W\left(12\right)={12}^3-13\cdot 12-12=1560\ne 0$  

$W\left(6\right)=6^3-13\cdot 6-12=126\ne 0$  

$W\left(4\right)=4^3-13\cdot 4-12=0$  

Liczba  $4$  jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem wielomian ten jest podzielny przez dwumian  $x-4$  .

Wykonujemy dzielenie stosując algorytm Hornera:

	$1$	$0$	$-13$	$-12$
$4$		$4$	$16$	$12$
	$1$	$4$	$3$	$0$

Wynikiem tego dzielenia jest wielomian:

$P\left(x\right)=x^2+4x+3$  

Sprawdźmy czy wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$x_1=\frac{-4-2}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

zatem:

$x^2+4x+3=\left(x+3\right)\left(x+1\right)$  

więc podaną nierówność możemy zapisać w następujący sposób:

$\left(4-x\right)\left(x-4\right)\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ge 0$  

$-{\left(x-4\right)}^2\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ge 0$  

${\left(x-4\right)}^2\left(x+3\right)\left(x+1\right)\le 0$  

Wyznaczmy pierwiastki równania:

${\left(x-4\right)}^2\left(x+3\right)\left(x+1\right)=0$  

$x-4=0\vee x+3=0\vee x+1=0$  

$x=4\vee x=-3\vee x=-1$  

Pierwiastek o parzystej krotności to: $4$  

Pierwiastki o nieparzystej krotności to: $-3,-1$  

zatem:

Korzystając z rysunku możemy odczytać rozwiązania powyższej nierówności:

$x\in ⟨-3,-1⟩\cup \left\{4\right\}$