$\text{a)}$  Na podstawie rysunku ustalamy, że  $\frac{1}{2}$  jest pierwiastkiem dwukrotnym,

a  $2$  pierwiastkiem jednokrotnym funkcji  $y=W\left(x\right).$  

Możemy zapisać ją więc w postaci:

$W\left(x\right)=a{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\left(x-2\right)$  

---

Podstawiamy współrzędne punktu  $A=\left(1\frac{1}{2},2\right)$  i wyznaczamy wartość współczynnika  $a.$  

$W\left(1\frac{1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}a$  

---

$W\left(1\frac{1}{2}\right)=2$  

$-\frac{1}{2}a=2\text{/}\cdot \left(-2\right)$  

$a=-4$  

---

Stąd:

$W\left(x\right)=-4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\left(x-2\right)$  

Przekształcamy wzór funkcji  $W$  do postaci ogólnej:

$W\left(x\right)=-4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\left(x-2\right)=-4\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)\left(x-2\right)=-4\left(x^3-2x^2-x^2+2x+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)=$  

$=-4\left(x^3-3x^2+\frac{9}{4}x-\frac{1}{2}\right)=-4x^3+12x^2-9x+2$  

Odp.  $W\left(x\right)=-4x^3+12x^2-9x+2.$  

---

$\text{b)}$  Aby obliczyć resztę z dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)$  przez wielomian  $P\left(x\right)=4x^2-8x+3,$  wykonujemy dzielenie

pisemne  $W\left(x\right):P\left(x\right).$  

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=-4x^3+12x^2-9x+2$  przez trójmian  $P\left(x\right)=4x^2-8x+3$  

otrzymaliśmy dwumian  $Q\left(x\right)=-x+1$  oraz resztę  $R\left(x\right)=2x-1.$  

Odp.  $R\left(x\right)=2x-1-$  szukana reszta z dzielenia.