Dane jest równanie:

$x^4+2\left(k-5\right)x^2+4k^2=0\left(1\right)$  

Podstawiamy x²=t. 

$t^2+2\left(k-5\right)t+4k^2=0\left(2\right)$  

Równanie (1) ma cztery rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (2) ma dwa rozwiązania dodatnie (bo dla t>0 mamy x²>0).

Aby tak było muszą zachodzić warunki:

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ -\frac{b}{a}>0\\ \frac{c}{a}>0\end{array}$  

---

Obliczamy wyróżnik △:

$\Delta ={\left(2\left(k-5\right)\right)}^2-4\cdot 4k^2=4{\left(k-5\right)}^2-16k^2=4k^2-40k+100-16k^2=-12k^2-40k+100$

---

Rozwiązujemy warunki zadane układem równań:

$\Delta >0$  

$-12k^2-40k+100>0\mid :\left(-4\right)$  

$3k^2+10k-25<0$  

${\Delta }_k=100+300=400,\sqrt{\Delta }=20$  

$k_1=\frac{-10-20}{6}=\frac{-30}{6}=-5$  

$k_2=\frac{-10+20}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$  

zatem:

$k\in \left(-5,1\frac{2}{3}\right)$  

---

$-\frac{b}{a}>0$  

$-2\left(k-5\right)>0$  

$k-5<0$  

$k<5$  

---

$\frac{c}{a}>0$  

$4k^2>0$  

$k^2>0$  

Ta nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0, zatem:

$k\ne 0$  

---

Mamy więc:

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ -\frac{b}{a}>0\\ \frac{c}{a}>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}k\in \left(-5,1\frac{2}{3}\right)\\ k<5\\ k\ne 0\end{array}\iff k\in \left(-5,0\right)\cup \left(0,1\frac{2}{3}\right)$  

---

Odp. Równanie (1) ma cztery rozwiązania dla k ∈(-5, 0) ∪ (0, 1 ²/₃).