Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia, z których będziemy korzystać:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
a) W(x)=x6−1=(x2)3−13=(x2−1)(x4+x2+1)=(x−1)(x+1)(x4+x2+1)=
=(x−1)(x+1)[x4+2x2+1−x2]=(x−1)(x+1)[(x2+1)2−x2]=
=(x−1)(x+1)(x2+1−x)(x2+1+x)=(x−1)(x+1)(x2−x+1)(x2+x+1)
b) W(x)=x6+1=(x2)3+13=(x2+1)(x4−x2+1)=(x2+1)(x4+2x2−3x2+1)=
=(x2+1)(x4+2x2+1−3x2)=(x2+1)[(x2+1)2−(3x)2]=
=(x2+1)(x2+1−3x)(x2+1+3x)=(x2+1)(x2−3x+1)(x2+3x+1)
c) W(x)=256−x8=28−x8=(24)2−(x4)2=(24−x4)(24+x4)=
=((22)2−(x2)2)[(22+x2)2−8x2]=(22−x2)(22+x2)[(4+x2)2−(22x)2]=
=(2−x)(2+x)(4+x2)(4+x2−22x)(4+x2+22x)
d) W(x)=x12−2x6+1=(x6−1)2=…
Z przykładu a) wiemy, że x6−1=(x−1)(x+1)(x2−x+1)(x2+x+1).
Zatem:
…=[(x−1)(x+1)(x2−x+1)(x2+x+1)]2=(x−1)2(x+1)2(x2−x+1)2(x2+x+1)2
