$\text{a)}W\left(x\right)=x^3+2x^2-x+a,c=1$  

Obliczamy:

$W\left(c\right)=W\left(1\right)=1+2-1+a=a+2$  

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  $c$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  wtedy i tylko wtedy,

gdy  $W\left(c\right)=0.$  

Sprawdźmy, dla jakiego  $a$  tak jest.

$W\left(1\right)=0$  

$a+2=0$  

$a=-2$  

 

Wówczas wielomian  $W\left(x\right)$  ma postać:

$W\left(x\right)=x^3+2x^2-x-2$  

Wiemy, że liczba  $c=1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-1\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-1\right)$  algorytmem Hornera:

	$1$	$2$	$-1$	$-2$
$1$		$1$	$3$	$2$
	$1$	$3$	$2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=x^3+2x^2-x-2$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-1$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=x^2+3x+2.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+3x+2\right)$  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

$\Delta =9-8=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x=\frac{-3-1}{2}=-2\vee x=\frac{-3+1}{2}=-1$  

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  $W\left(x\right)$  to:  $-2,-1.$  

---

$\text{b)}W\left(x\right)=3x^3-\left(4a+5\right)x^2+28x-4a,c=2$  

Obliczamy:

$W\left(c\right)=W\left(2\right)=3\cdot 2^3-\left(4a+5\right)\cdot 2^2+28\cdot 2-4a=24-16a-20+56-4a=-20a+60$  

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  $c$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  wtedy i tylko wtedy,

gdy  $W\left(c\right)=0.$  

Sprawdźmy, dla jakiego  $a$  tak jest.

$W\left(2\right)=0$  

$-20a+60=0$  

$-20a=-60$  

$a=3$  

 

Wówczas wielomian  $W\left(x\right)$  ma postać:

$W\left(x\right)=3x^3-17x^2+28x-12$  

Wiemy, że liczba  $c=2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-2\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-2\right)$  algorytmem Hornera:

	$3$	$-17$	$28$	$-12$
$2$		$6$	$-22$	$12$
	$3$	$-11$	$6$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=3x^3-17x^2+28x-12$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-2$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=3x^2-11x+6.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(3x^2-11x+6\right)$  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

$\Delta ={\left(-11\right)}^2-4\cdot 3\cdot 6=121-72=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x=\frac{11-7}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\vee x=\frac{11+7}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3$  

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  $W\left(x\right)$  to:  $\frac{2}{3},3.$