Wiemy, że dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są to wielomiany tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej lub są to wielomiany zerowe.

 

Przedstawimy podane wielomiany w najprostszej postaci, uporządkujemy je malejąco, a następnie porównamy ze sobą.

$\text{a)}$  

$W\left(x\right)=\left(3x^2-a\right)\left(x+2a\right)-\left(2x-1\right)=3x^3+6a{x}^2-ax-2a^2-2x+1=$  

$=3x^3+6a{x}^2-\left(a+2\right)x-2a^2+1$  

$P\left(x\right)=3x^3+18x^2-5x-17$  

Otrzymaliśmy wielomiany tego samego stopnia,  $st.W\left(x\right)=st.P\left(x\right)=3.$  

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej  $x$  będą równe. Współczynnik przy  $x^3$   w obu wielomianach jest taki sam, więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$\{\begin{array}{l}6a=18\\ -\left(a+2\right)=-5\\ -2a^2+1=-17\end{array}$  

Wielomiany  $W\left(x\right)$  i  $P\left(x\right)$  są równe dla  $a=3.$  

---

$\text{b)}$  

$W\left(x\right)=8+ax\left(ax+1\right)-\left(a^2+x-5x^2\right)\cdot x=8+a^2\cdot x^2+ax-a^{2}x-x^2+5x^3=$  

  $=5x^3+\left(a^2-1\right)\cdot x^2+\left(a-a^2\right)\cdot x+8$  

$P\left(x\right)=5x^3+3x^2-2x+8$  

Wielomiany są tego samego stopnia,  $st.W\left(x\right)=st.P\left(x\right)=3.$  

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej  $x$  będą równe. Współczynniki przy najwyższej potędze wielomianu oraz wyrazy wolne w obu wielomianach są takie same, więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$\{\begin{array}{l}{a}^2-1=3\\ a-a^2=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}^2=4\\ a-a^2=-2\end{array}$  

Wielomiany  $W\left(x\right)$  i  $P\left(x\right)$  są równe dla  $a=2.$  

---

$\text{c)}$  

$W\left(x\right)=-6x^3-5x{}^2-\frac{5}{3}ax-2$  

$P\left(x\right)=\left(3x^2-a^{2}x+2\right)\left(-2x-1\right)=-6x^3-3x^2+2a^2{x}^2+a^{2}x-4x-2=$  

$=-6x^3+\left(2a^2-3\right)x^2+\left(a^2-4\right)x-2$  

Wielomiany są tego samego stopnia,  $st.W\left(x\right)=st.P\left(x\right)=3.$  

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej  $x$  będą równe. Współczynniki przy najwyższej potędze wielomianu oraz wyrazy wolne w obu wielomianach są takie same, więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$\{\begin{array}{c}-5=2a^2-3\\ -\frac{5}{3}a=a^2-4\end{array}$  

Rozwiążmy pierwsze z równań układu.

$-5=2a^2-3$

$2a^2=-2$

$a^2=-1$

Powyższe równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, wobec czego cały układ jest sprzeczny.

Zatem nie ma liczby $a$, dla której wielomiany $W$ i $P$ są równe.

UWAGA: Oznacza to, że odpowiedź do podpunktu (c) zamieszczona w podręczniku jest błędna. 

---

$\text{d)}$  

$W\left(x\right)=\left(2x^2-3\right)\left(2x-a^2\right)-4=4x^3-2a^2{x}^2-6x+3a^2-4$  

$P\left(x\right)=4x^3+\left(a-3\right)x^2-6x-a$  

Otrzymaliśmy wielomiany tego samego stopnia,  $st.W\left(x\right)=st.P\left(x\right)=3.$  

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej  $x$  będą równe. Współczynnik przy  $x^3$  i  $x$ są takie same, więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$\{\begin{array}{l}-2a^2=a-3\\ 3a^2-4=-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2a^2-a+3=0\\ 3a^2+a-4=0\end{array}$  

Rozwiążmy pierwsze równanie:

$-2a^2-a+3=0$  

${\Delta }_1={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 3=1+24=25,{\sqrt{\Delta }}_1=5$  

$a_1=\frac{1-5}{-4}=\frac{-4}{-4}=1$  

$a_2=\frac{1+5}{-4}=-\frac{3}{2}$  

Rozwiążmy drugie równanie:

$3a^2+a-4=0$  

${\Delta }_2=1^2-4\cdot 3\cdot \left(-4\right)=1+48=49,{\sqrt{\Delta }}_2=7$  

$a_1=\frac{-1-7}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}$  

$a_2=\frac{-1+7}{6}=\frac{6}{6}=1$  

Wielomiany  $W\left(x\right)$  i  $P\left(x\right)$  są równe dla  $a=1.$