Wiemy, że dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy,

gdy są to wielomiany tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich

potęgach zmiennej lub są to wielomiany zerowe.

 

Przedstawimy podane wielomiany w najprostszej postaci, uporządkujemy je malejąco,

a następnie porównamy ze sobą.

$\text{a)}$  

$W\left(x\right)=\left(x^2-ax\right)\left(x+2a\right)+8x=x^3+2a{x}^2-a{x}^2-2a^{2}x+8x=x^3+a{x}^2+\left(8-2a^2\right)x$  

$P\left(x\right)=x^3-2x^2$  

Otrzymaliśmy wielomiany tego samego stopnia,  $st.W\left(x\right)=st.P\left(x\right)=3.$  

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach

zmiennej  $x$  będą równe. Współczynnik przy  $x^3$  i wyraz wolny w obu wielomianach są takie same,

więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$\left(a=-2\wedge 8-2a^2=0\right)\iff \left(a=-2\wedge a^2=4\right)\iff a=-2\wedge \left(a=-2\vee a=2\right)\iff a=-2$  

Wielomiany  $W\left(x\right)$  i  $P\left(x\right)$  są równe dla  $a=-2.$  

---

$\text{b)}$  

$W\left(x\right)=2x^4-3\left(a+1\right)x^3+4a$  

$P\left(x\right)=2x^4-6x^3+8$  

Wielomiany są tego samego stopnia,  $st.W\left(x\right)=st.P\left(x\right)=4.$  

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach

zmiennej  $x$  będą równe. Współczynniki przy  $x^4,x^2$  oraz  $x$  w obu wielomianach są takie same,

więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$\left(-3\left(a+1\right)=-6\wedge 4a=8\right)\iff \left(a+1=2\wedge a=2\right)\iff \left(a=1\wedge a=2\right)$  

Liczba  $a$  nie może być jednocześnie równa  $1$  i  $2,$  więc nie istnieje liczba  $a,$  dla której wielomiany  $W\left(x\right)$  i  $P\left(x\right)$  są równe.

---

$\text{c)}$  

$W\left(x\right)=\left(x^3-2a\right)\left(x^3+2a\right)-6x=x^6-4a^2-6x=x^6-6x-4a^2$  

$P\left(x\right)=x^9+3ax-16$  

Otrzymaliśmy wielomiany, które mają różny stopień,  $st.W\left(x\right)=6,st.P\left(x\right)=9.$  

Nie mogą być one równe.

---

$\text{d)}$  

$W\left(x\right)={\left(3x-a\right)}^2\cdot 4x=\left(9x^2-6ax+a^2\right)\cdot 4x=36x^3-24a{x}^2+4a^{2}x$  

$P\left(x\right)=36x^3+48x^2+16x$  

Otrzymaliśmy wielomiany tego samego stopnia,  $st.W\left(x\right)=st.P\left(x\right)=3.$  

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach

zmiennej  $x$  będą równe. Współczynnik przy  $x^3$  i wyraz wolny w obu wielomianach są takie same,

więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$\left(-24a=48\wedge 4a^2=16\right)\iff \left(a=-2\wedge a^2=4\right)\iff a=-2\wedge \left(a=-2\vee a=2\right)\iff a=-2$  

Wielomiany  $W\left(x\right)$  i  $P\left(x\right)$  są równe dla  $a=-2.$