Sprawdź, czy istnieje liczba a...- Zadanie 8.38: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wiemy, że dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy,

gdy są to wielomiany tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich

potęgach zmiennej lub są to wielomiany zerowe.

Przedstawimy podane wielomiany w najprostszej postaci, uporządkujemy je malejąco,

a następnie porównamy ze sobą.

$a)$

$W (x) = (x^{2} - a x) (x + 2 a) + 8 x = x^{3} + 2 a x^{2} - a x^{2} - 2 a^{2} x + 8 x = x^{3} + a x^{2} + (8 - 2 a^{2}) x$

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2}$

Otrzymaliśmy wielomiany tego samego stopnia, $s t . W (x) = s t . P (x) = 3 .$

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach

zmiennej $x$ będą równe. Współczynnik przy $x^{3}$ i wyraz wolny w obu wielomianach są takie same,

więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$(a = - 2 \land 8 - 2 a^{2} = 0) \Leftrightarrow (a = - 2 \land a^{2} = 4) \Leftrightarrow a = - 2 \land (a = - 2 \lor a = 2) \Leftrightarrow a = - 2$

Wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ są równe dla $a = - 2 .$

$b)$

$W (x) = 2 x^{4} - 3 (a + 1) x^{3} + 4 a$

$P (x) = 2 x^{4} - 6 x^{3} + 8$

Wielomiany są tego samego stopnia, $s t . W (x) = s t . P (x) = 4 .$

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach

zmiennej $x$ będą równe. Współczynniki przy $x^{4}, x^{2}$ oraz $x$ w obu wielomianach są takie same,

więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$(- 3 (a + 1) = - 6 \land 4 a = 8) \Leftrightarrow (a + 1 = 2 \land a = 2) \Leftrightarrow (a = 1 \land a = 2)$

Liczba $a$ nie może być jednocześnie równa $1$ i $2,$ więc nie istnieje liczba $a,$ dla której wielomiany $W (x)$ i $P (x)$ są równe.

$c)$

$W (x) = (x^{3} - 2 a) (x^{3} + 2 a) - 6 x = x^{6} - 4 a^{2} - 6 x = x^{6} - 6 x - 4 a^{2}$

$P (x) = x^{9} + 3 a x - 16$

Otrzymaliśmy wielomiany, które mają różny stopień, $s t . W (x) = 6, s t . P (x) = 9 .$

Nie mogą być one równe.

$d)$

$W (x) = (3 x - a)^{2} \cdot 4 x = (9 x^{2} - 6 a x + a^{2}) \cdot 4 x = 36 x^{3} - 24 a x^{2} + 4 a^{2} x$

$P (x) = 36 x^{3} + 48 x^{2} + 16 x$

Otrzymaliśmy wielomiany tego samego stopnia, $s t . W (x) = s t . P (x) = 3 .$

Wielomiany te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach

zmiennej $x$ będą równe. Współczynnik przy $x^{3}$ i wyraz wolny w obu wielomianach są takie same,

więc porównujemy pozostałe współczynniki:

$(- 24 a = 48 \land 4 a^{2} = 16) \Leftrightarrow (a = - 2 \land a^{2} = 4) \Leftrightarrow a = - 2 \land (a = - 2 \lor a = 2) \Leftrightarrow a = - 2$