Wprowadźmy oznaczenia:

$\alpha$  -miara kąta między bokami o długościach 8 i 3

$x$  -długość trzeciego boku tego trójkąta

$R$  -promień okręgu opisanego na tym trójkącie

$r$  -promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

---

a) Obliczmy miarę kąta 𝛼:

$6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3\cdot \sin \alpha$

$6\sqrt{3}=4\cdot 3\cdot \sin \alpha$  

$6\sqrt{3}=12\sin \alpha$  

$\sqrt{3}=2\sin \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

zatem:

$\alpha ={60}^{\circ }$  

---

b) Obliczmy długość trzeciego boku tego trójkąta:

$x^2=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos {60}^{\circ }$  

$x^2=64+9-48\cdot \frac{1}{2}$  

$x^2=73-24$  

$x^2=49$  

$x=7$  

---

c) Obliczmy promień okręgu opisanego na tym trójkącie:

$6\sqrt{3}=\frac{8\cdot 3\cdot 7}{4R}$  

$6\sqrt{3}=\frac{42}{R}$  

$R=\frac{42}{6\sqrt{3}}$  

$R=\frac{7}{\sqrt{3}}$  

$R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$  

---

d) Obliczmy promień okręgu wpisanego w ten trójkąt:

$6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot \left(8+3+7\right)\cdot r$  

$6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot r$  

$6\sqrt{3}=9r$  

$r=\frac{6\sqrt{3}}{9}$  

$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$