Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$P_{ABC}=108{\text{cm}}^2$  

---

a) Ze wzoru na pole wyznaczamy długość przyprostokątnej AB (b + x):

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|AB\right|$  

$108=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \left(b+x\right)$  

$108=6\left(b+x\right)\mid :6$  

$b+x=18\left[\text{cm}\right]$  

Stąd:

$b=18-x$  

---

Wyznaczamy x z tw. Pitagorasa dla trójkąta ACE:

${\left|AC\right|}^2+{\left|AE\right|}^2={\left|CE\right|}^2$  

${12}^2+b^2=x^2$  

${12}^2+{\left(18-x\right)}^2=x^2$  

$144+324-36x+x^2=x^2$  

$36x=468\mid :36$  

$x=13\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole trójkąta BCE:

$P_{BCE}=\frac{1}{2}\cdot \left|EB\right|\cdot \left|AC\right|$  

$P_{BCE}=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 12=13\cdot 6=78\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Odp. Pole trójkąta BCE jest równe 78 cm².

---

---

b) Z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABC obliczamy długość boku c:

${\left|AC\right|}^2+{\left|AB\right|}^2={\left|BC\right|}^2$  

${12}^2+{18}^2=c^2$  

$144+324=c^2$  

$c^2=468$  

$c=6\sqrt{13}\left[\text{cm}\right]$  

---

Ze wzoru na pole obliczamy wysokość h:

$P=\frac{1}{2}ch$  

$78=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{13}\cdot h$  

$78=3\sqrt{13}\cdot h\mid :3\sqrt{13}$  

$h=\frac{26}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{26\sqrt{13}}{13}=2\sqrt{13}\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Wysokość poprowadzona z wierzchołka E jest równa 2√13 cm.