a) Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\gamma =-\frac{3}{4}$  

 tangens kąta  𝛾 jest ujemny, zatem 𝛾  jest kątem rozwartym. Z tego wynika, że

$\cos \gamma <0\wedge \sin \gamma >0$  

 

Obliczmy wartość sin𝛾:

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1\\ \mathrm{tg}\gamma =\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1\\ -\frac{3}{4}=\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{\left(-\frac{3}{4}\cdot \cos \gamma \right)}^2+{\cos }^2\gamma =1\\ -\frac{3}{4}\cdot \cos \gamma =\sin \gamma \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{9}{16}\cdot {\cos }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1\\ -\frac{3}{4}\cdot \cos \gamma =\sin \gamma \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{25}{16}\cdot {\cos }^2\gamma =1\\ -\frac{3}{4}\cdot \cos \gamma =\sin \gamma \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\cos }^2\gamma =\frac{16}{25}\\ -\frac{3}{4}\cdot \cos \gamma =\sin \gamma \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \gamma =-\frac{4}{5}\\ -\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\sin \gamma \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \gamma =-\frac{4}{5}\\ \sin \gamma =\frac{3}{5}\end{array}$  

 

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość R:

$\frac{c}{\sin \gamma }=2R$  

$\frac{6}{\frac{3}{5}}=2R$  

$6\cdot \frac{5}{3}=2R$  

$\frac{30}{3}=2R$  

$10=2R$  

$R=5\text{[cm]}$  

---

b) Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{15}$  

zatem:

$\cos \alpha >0\wedge \sin \alpha >0$  

 

Obliczmy wartość sin𝛼:

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ \frac{8}{15}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{8}{15}\cdot \cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1\\ \frac{8}{15}\cdot \cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{64}{225}\cdot {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ \frac{8}{15}\cdot \cos \alpha =\sin g\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{289}{225}\cdot {\cos }^2\alpha =1\\ \frac{8}{15}\cdot \cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\cos }^2\alpha =\frac{225}{289}\\ \frac{8}{15}\cdot \cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{15}{17}\\ \frac{8}{15}\cdot \frac{15}{17}=\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{15}{17}\\ \sin \alpha =\frac{8}{17}\end{array}$  

 

Obliczmy wartość sin𝛾:

  ${\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1$  

${\sin }^2\gamma +{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2=1$

${\sin }^2\gamma +\frac{8}{9}=1$   

${\sin }^2\gamma =\frac{1}{9}$  

$\sin \gamma =\frac{1}{3}$  

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość boku c:

$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{a}{\sin \alpha }$  

$\frac{17}{\frac{1}{3}}=\frac{a}{\frac{8}{17}}$  

$17\cdot 3=a\cdot \frac{17}{8}\mid :17$  

$3=\frac{a}{8}\mid \cdot 8$  

$a=24\text{[cm]}$  

---

c) Wiemy, że:

$\mathrm{ctg}\alpha =1$  

Skoro ctg𝛼 jest liczbą dodatnią, to kąt 𝛼  jest ostry. To oznacza, że

$\cos \alpha >0\wedge \sin \alpha >0$  

 

Obliczmy wartość sin𝛼:

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ \mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ 1=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\\ \cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2{\sin }^2\alpha =1\\ \cos \alpha =\sin g\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}\\ \cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$  

więc:

$\alpha ={45}^{\circ }$  

Zauważmy, że:

$\cos \gamma =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \gamma ={30}^{\circ }$  

Obliczmy miarę kąta 𝛽:

  $\beta ={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{45}^{\circ }={105}^{\circ }$  

 

Obliczmy wartość sin𝛽:

  $\sin \beta =\sin {105}^{\circ }=\sin \left({180}^{\circ }-{75}^{\circ }\right)=\sin {75}^{\circ }\approx 0,966$  

 

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość boku c:

$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\frac{c}{\sin {30}^{\circ }\approx }\frac{9,66}{0,966}$  

$\frac{c}{\frac{1}{2}}\approx 10$  

$2c\approx 10$  

$c\approx 5\text{[cm]}$  

---

d) Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{3}$  

Skoro tg𝛼 jest liczbą dodatnią, to kąt 𝛼  jest ostry. 

Zatem:

$\alpha ={60}^{\circ }$  

oraz

$\cos \beta =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

więc:

$\beta ={45}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛾:

$\gamma ={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{45}^{\circ }={75}^{\circ }$  

 

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość boku b:

$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\frac{19,32}{\sin {75}^{\circ }}=\frac{b}{\sin {45}^{\circ }}$  

$\frac{19,32}{0,966}\approx \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$  

$20\approx \frac{2b}{\sqrt{2}}\mid \cdot \sqrt{2}$  

$20\sqrt{2}\approx 2b$  

$b\approx 10\sqrt{2}$  

$b\approx 14,14\text{[cm]}$