a) Obliczmy współrzędne punktów A i B:

$\{\begin{array}{l}y=3-x\\ y=x^2+6x+9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3-x\\ y=x^2+6x+9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3-x\\ 3-x=x^2+6x+9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3-x\\ 0=x^2+7x+6\end{array}$

Rozwiążmy równanie:

  $x^2+7x+6=0$    

$\Delta =7^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_A=\frac{-7-5}{2}=\frac{-12}{2}=-6$  

$x_B=\frac{-7+5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

więc:

$y_A=3-\left(-6\right)=9$  

$y_B=3-\left(-1\right)=4$  

czyli:

$A\left(-6,9\right),B\left(-1,4\right)$  

---

b) Zauważmy, że:

$y=x^2+6x+9={\left(x+3\right)}^2$  

zatem oś symetrii tej paraboli to:

$x=-3$  

Wyznaczamy punkt P przecięcia prostych x = -3 i y = 3 - x. 

Otrzymujemy 

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=3-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=3-\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=6\end{array}$  

zatem ten punkt ma współrzędne:

$P\left(-3,6\right)$  

Obliczmy długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-6-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-1-4\right)}^2}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$  

Obliczmy długość odcinka AP:

$\left|AP\right|=\sqrt{{\left(-6-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(9-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$  

Obliczmy długość odcinka PB:

$\left|PB\right|=\sqrt{{\left(-1-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(4-6\right)}^2}=\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

zatem:

$\frac{\left|AP\right|}{\left|PB\right|}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2}$  

czyli:

$\left|AP\right|:\left|PB\right|=3:2$  

c.n.w.