a)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku poniżej 

Zauważmy, że kąt wpisany CAB jest prosty (jako kąt wpisany oparty na średnicy), czyli trójkąt ABC jest prostokątny. 

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy 

$\left|\sphericalangle ACB\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{25}^{\circ }\right)={65}^{\circ }$  

Kąt wpisany ACB i kąt dopisany 𝛼 są oparte na tym samym łuku, czyli 

$\alpha =\left|\sphericalangle ACB\right|={65}^{\circ }$  

---

b)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku poniżej

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy 

$\left|\sphericalangle ACB\right|={180}^{\circ }-\left({45}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{75}^{\circ }={105}^{\circ }$  

Kąt wpisany ACB i kąt dopisany 𝛼 są oparte na tym samym łuku, czyli 

$\alpha =\left|\sphericalangle ACB\right|={105}^{\circ }$  

---

c)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku poniżej

Kąt o mierze 111° i kąt ACB to kąty przyległe, czyli ich suma jest równa 180°, zatem mamy 

$\left|\sphericalangle ACB\right|={180}^{\circ }-{111}^{\circ }={69}^{\circ }$  

Kąt wpisany ACB i kąt dopisany 𝛼 są oparte na tym samym łuku, czyli 

$\alpha =\left|\sphericalangle ACB\right|={69}^{\circ }$  

---

d)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku poniżej

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy 

$\left|\sphericalangle ACD\right|={180}^{\circ }-\left({45}^{\circ }+{32}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{77}^{\circ }={103}^{\circ }$  

Kąty ACD i ACB to kąty przyległe, czyli ich suma jest równa 180°, zatem mamy 

$\left|\sphericalangle ACB\right|={180}^{\circ }-{103}^{\circ }={77}^{\circ }$  

Kąt wpisany ACB i kąt dopisany 𝛼 są oparte na tym samym łuku, czyli 

$\alpha =\left|\sphericalangle ACB\right|={77}^{\circ }$