$x^2+2\left(p-3\right)\left|x\right|=1-p^2$  

$x^2+2\left(p-3\right)\left|x\right|+p^2-1=0\left(1\right)$  

Podstawiamy  $\left|x\right|=t,t\ge 0.$  

$t^2+2\left(p-3\right)t+p^2-1=0\left(2\right)$  

Równanie (1) ma trzy różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (2) ma dwa różne
rozwiązania, z których jedno jest dodatnie (bo t > 0 generuje dwa różne rozwiązania równania (1), mianowicie
x₁ i x₂, takie, że x₂ = -x₁), a jedno równe 0 (bo t = 0 generuje jedno rozwiązanie równania (1), mianowicie
x₃ = 0).

Aby tak było, muszą zachodzić warunki:

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ t_1+t_2>0\\ t_1\cdot t_2=0\end{array}$  

Obliczamy:

$\Delta =4{\left(p-3\right)}^2-4\left(p^2-1\right)=4\left(p^2-6p+9\right)-4\left(p^2-1\right)=4p^2-24p+36-4p^2+4=-24p+40$  

$t_1+t_2=-2\left(p-3\right)$  

$t_1\cdot t_2=p^2-1$  

Mamy:

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ t_1+t_2>0\\ t_1\cdot t_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-24p+40>0\\ -2\left(p-3\right)>0\\ p^2-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-24p>-40\\ p-3<0\\ p^2=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}p<\frac{5}{3}\\ p<3\\ p=1\vee p=-1\end{array}\iff p\in \left\{-1,1\right\}$  

 

Chcemy teraz wyznaczyć, ile wynoszą rozwiązania dla obliczonych wartości parametru  $p.$  

Dla  $p=-1$  równanie  $\left(2\right)$  ma postać:

$t^2-8t=0$  

Stąd:

$t\left(t-8\right)=0$  

$t=0\vee t=8$  

$\left|x\right|=0\vee \left|x\right|=8$  

$x=0\vee x=8\vee x=-8$  

 

Dla  $p=1$  równanie  $\left(2\right)$  ma postać:

$t^2-4t=0$  

Stąd:

$t\left(t-4\right)=0$  

$t=0\vee t=4$  

$\left|x\right|=0\vee \left|x\right|=4$  

$x=0\vee x=4\vee x=-4$  

 

Odp. Dla  $p=-1$  rozwiązaniami równania  $\left(1\right)$  są  $x\in \left\{-8,0,8\right\}.$  

Dla  $p=1$  rozwiązaniami równania  $\left(1\right)$  są  $x\in \left\{-4,0,4\right\}.$