Wykonajmy rysunek pomocniczy:

a) Wiemy, że:

$\left|AD\right|=4\text{cm}$  

$\left|DB\right|=3\text{cm}$  

 

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej i twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długości przyprostokątnych tego trójkąta:

$\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}=\frac{a}{b}\\ a^2+b^2={\left(4+3\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4b=3a\\ a^2+b^2=7^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4b=3a\\ a^2+b^2=49\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3a}{4}\\ a^2+{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2=49\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3a}{4}\\ a^2+\frac{9a^2}{16}=49\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3a}{4}\\ \frac{25a^2}{16}=49\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3a}{4}\\ 25a^2=784\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3a}{4}\\ a^2=\frac{784}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3a}{4}\\ a=\frac{28}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3a}{4}\\ a=5,6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{3\cdot 5,6}{4}\\ a=5,6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{16,8}{4}\\ a=5,6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4,2\\ a=5,6\end{array}$  

Odp.: Przyprostokątne tego trójkąta mają długości 4,2 cm i 5,6 cm.

---

b)

Obliczmy długość odcinka FC. Ze wzoru na pole trójkąta otrzymujemy:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|BC\right|\cdot \left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|FC\right|\cdot \left|AB\right|$

Zatem:

$\frac{1}{2}\cdot 4,2\cdot 5,6=\frac{1}{2}\cdot \left|FC\right|\cdot 7$ '

$23,52=7\cdot \left|FC\right|$  

$\left|FC\right|=3,36$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFC obliczmy długość odcinka DF:

${\left(4+\left|DF\right|\right)}^2+{3,36}^2={5,6}^2$  

${\left(4+\left|DF\right|\right)}^2+11,2896=31,36$  

${\left(4+\left|DF\right|\right)}^2=20,0704$  

$4+\left|DF\right|=4,48$  

$\left|DF\right|=0,48$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DFC obliczmy długość odcinka DC:

${0,48}^2+{3,36}^2={\left|DC\right|}^2$  

$0,2304+11,2896={\left|DC\right|}^2$  

${\left|DC\right|}^2=11,52$  

$\left|DC\right|=\sqrt{11,52}$  

$\left|DC\right|=2,4\sqrt{2}\text{[cm]}$  

Odp.: Długość odcinka tej dwusiecznej zawartego w trójkącie jest równa 2,4√2 cm.