Korzystamy z następującej definicji:

Niech dany będzie kąt  $\alpha$  w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu tego kąta wybieramy dowolny punkt P(x, y) różny od punktu O(0, 0):

1. Sinusem kąta α nazywamy liczbę będącą ilorazem rzędnej punktu P przez odległość punktu P od początku układu współrzędnych.

$\sin \alpha =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

2. Cosinusem kąta α nazywamy liczbę będącą ilorazem odciętej punktu P przez odległość punktu P od początku układu współrzędnych.

$\cos \alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

 

$a\text{)}\sin \alpha =\cos \alpha ,\text{to}\alpha \in \left\{{45}^{\circ },{225}^{\circ }\right\}$  

Wiemy, że:

$\alpha \in ⟨0^{\circ },{360}^{\circ })$  

zatem:

$\sin \alpha =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

$\cos \alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

więc:

$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

czyli:

$y=x$  

Kreślimy prostą y=x w układzie współrzędnych i zaznaczamy dwa kąty w położeniu standardowym, których drugie ramię pokrywa się z tą prostą:

Łatwo możemy zauważyć, że:

$\alpha ={90}^{\circ }:2={45}^{\circ }$   

$\beta ={180}^{\circ }+{45}^{\circ }={225}^{\circ }$  

zatem podana równość jest spełniona jedynie dla kątów o miarach 45^o i 225^o.

c.n.w.

---

$b\text{)}\sin \alpha =-\cos \alpha ,\text{to}\alpha \in \left\{{135}^{\circ },{315}^{\circ }\right\}$  

Wiemy, że:

$\alpha \in ⟨0^{\circ },{360}^{\circ })$  

zatem:

$\sin \alpha =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

$\cos \alpha =-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

więc:

$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$  

czyli:

$y=-x$  

Kreślimy prostą y=-x w układzie współrzędnych i zaznaczamy dwa kąty w położeniu standardowym, których drugie ramię pokrywa się z tą prostą:

Łatwo możemy zauważyć, że:

$\alpha ={270}^{\circ }+{45}^{\circ }={315}^{\circ }$   

$\beta ={90}^{\circ }+{45}^{\circ }={135}^{\circ }$  

zatem podana równość jest spełniona jedynie dla kątów o miarach 135^o i 315^o. 

c.n.w.