🎓 Rozwiąż równanie. - Zadanie 27: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019 - strona 92
Przedmiot:
Matematyka
Wybrana książka:
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019 (Zbiór zadań, Nowa Era)
Klasa:
II technikum
Strona 92

 

 

 

 

 

 

 

 



 

Szukamy pierwiastków wielomianu

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -11. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

 

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+1.

Wykonujemy dzielenie w:(x+1), stosując schemat Hornera.

  6 1 -4 1
-1   -6 5 -1
  6 -5 1 0

Otrzymujemy:

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu 6x2-5x+1:

 

 

Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu w to:

 



 

Szukamy pierwiastków wielomianu

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -12, -6, -4, -3, -2, -11, 2, 3, 4, 6, 12. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

 

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+1.

Wykonujemy dzielenie w:(x+1), stosując schemat Hornera.

  1 2 -11 -12
-1   -1 -1 12
  1 1 -12 0

Otrzymujemy:

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu x2+x-12:

 

 

Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu w to:

 



 

 

 

 

 

 

 



 

Szukamy pierwiastków wielomianu

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -11. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

 

 

Żaden z dzielników liczby 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w.

Wielomian w ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wynika z niego, że:

 

 

Zatem:

 

Sprawdziliśmy przypadki dla -11, więc zostają nam tylko:

 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w:

 

Liczba -1/2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1/2).

Wykonujemy dzielenie w:(x+1/2):

  4 0 1 3 1
-1/2   -2 1 -1 -1
  4 -2 2 2 0

Otrzymujemy:

 

Oznaczmy:

 

Sprawdzamy, która z liczb ze zbioru  jest pierwiastkiem wielomianu s:

 

Liczba -1/2 jest pierwiastkiem wielomianu s, więc wielomian s jest podzielny przez dwumian (x+1/2).

Wykonujemy dzielenie s:(x+1/2):

  4 -2 2 2
-1/2   -2 2 -2
  4 -4 4 0

Otrzymujemy:

 

Trójmian 4x2-4x+4 nie ma pierwiastków, ponieważ:

 

Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu w to:

 



 

Szukamy pierwiastków wielomianu

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -6, -3, -2, -11, 2, 3, 6. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

 

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1.

Wykonujemy dzielenie w:(x-1), stosując schemat Hornera.

  1 -7 17 -17 6
1   1 -6 11 -6
  1 -6 11 -6 0

Otrzymujemy:

 

Oznaczmy:

 

Dzielnikami wyrazu wolnego s są liczby -6, -3, -2, -11, 2, 3, 6. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem s:

 

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu s, więc wielomian s jest podzielny przez dwumian x-1.

Wykonujemy dzielenie s:(x-1), stosując schemat Hornera.

  1 -6 11 -6
1   1 -5 6
  1 -5 6 0

Otrzymujemy:

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu x2-5x+6:

 

 

Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu w to:

 



 

Szukamy pierwiastków wielomianu

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -11, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

 

 

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2.

Wykonujemy dzielenie w:(x-2), stosując schemat Hornera.

  1 1 -10 -4 24
2   2 6 -8 -24
  1 3 -4 -12 0

Otrzymujemy:

 

Obliczamy pierwiastki wielomianu x3+3x2-4x-12:

 

 

 

 

 

Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu w to:

 



 

Szukamy pierwiastków wielomianu

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -11. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

 

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+1.

Wykonujemy dzielenie w:(x+1), stosując schemat Hornera.

  16 24 1 -6 1
-1   -16 -8 7 -1
  16 8 -7 1 0

Otrzymujemy:

 

Oznaczmy:

 

Dzielnikami wyrazu wolnego s są liczby -11. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem s:

 

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu s, więc wielomian s jest podzielny przez dwumian x+1.

Wykonujemy dzielenie s:(x+1), stosując schemat Hornera.

  16 8 -7 1
-1   -16 8 -1
  16 -8 1 0

Otrzymujemy:

 

Obliczamy pierwiastki trójmianu 16x2-8x+1:

 

 

Zatem wszystkie pierwiastki (równania) wielomianu w to:

 

Komentarze
Informacje o książce
Wydawnictwo:
Nowa Era
Rok wydania:
2020
Autorzy:
Jerzy Janowicz
ISBN:
9788326739842
Inne książki z tej serii:
Autor rozwiązania
Dagmara
55322

Nauczyciel

Z wykształcenia matematyk. W wolnym czasie lubię programować. Trenuję wspinaczkę.