Uwaga: Zapis  $\underset{k=3}{x=5}$  oznacza, że liczba 5 jest pierwiastkiem 3-krotnym, czyli k określa krotność pierwiastka.

---

Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-a jest równa:

$w\left(a\right)=a^5-a^4-3a\cdot a^2+\left(3a+2\right)\cdot a-1=a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-1$  

---

Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-a jest większa od 1, gdy:

$w\left(a\right)>1$  

$a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-1>1$  

$a^5-a^4-3a^3+3a^2+2a-2>0$  

$a^4\left(a-1\right)-3a^2\left(a-1\right)+2\left(a-1\right)>0$  

$\left(a-1\right)\left(a^4-3a^2+2\right)>0$  

---

Obliczamy pierwiastki trójmianu a⁴-3a²+2:

$a^4-3a^2+2=0$  

Podstawiamy a²=t.

$t^2-3t+2=0$  

$\Delta =9-8=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$t=\frac{3-1}{2}=1\text{lub}t=\frac{3+1}{2}=2$  

Otrzymujemy:

$t^2-3t+2=\left(t-1\right)\left(t-2\right)$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej a.

$a^4-3a^2+2=\left(a^2-1\right)\left(a^2-2\right)$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)\left(a^2-2\right)>0$  

$\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)>0$  

${\left(a-1\right)}^2\left(a+1\right)\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)>0$  

Oznaczmy:

$v\left(a\right)={\left(a-1\right)}^2\left(a+1\right)\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)$  

Odczytujemy pierwiastki wielomianu v i ich krotności:

$\underset{k=1}{x=-\sqrt{2}}\text{lub}\underset{k=1}{x=-1}\text{lub}\underset{k=2}{x=1}\text{lub}\underset{k=1}{x=\sqrt{2}}$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu v. Współczynnik przy a⁴ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 1 wykres odbije się od osi.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$v\left(a\right)>0\iff a\in \left(-\sqrt{2},-1\right)\cup \left(\sqrt{2},+\infty \right)$