Dla jakich wartości...- Zadanie 25: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia o dzieleniu z resztą:

Dla liczb naturalnych n i m, gdzie m≠0 istnieje tylko jedna para liczb naturalnych q i r, dla której n=m·q+r, gdzie r<m. Liczbę q nazywamy ilorazem, a liczbę r - resztą.

a) Liczby 1 i -1 są dzielnikami każdej liczby całkowitej, więc liczba 3n³-8n²+14n-8 jest podzielna przez liczbę 3n-5, gdy:

$3 n - 5 = 1 lub 3 n - 5 = - 1$

$3 n = 6 lub 3 n = 4 ∣ : 3$

$n = 2 \in N lub n = \frac{4}{3} \in / N$

Stąd:

$n = 2$

Wykonujemy dzielenie (3n³-8n²+14n-8):(3n-5):

Otrzymujemy:

$3 n^{3} - 8 n^{2} + 14 n - 8 = (n^{2} - n + 3) \cdot (3 n - 5) + 7$

Zauważmy, że dla n ∈ N dane wyrażenia są LICZBAMI, a nie wielomianami, więc zajmujemy się dzieleniem liczb całkowitych.

Reszta z dzielenia jest różna od zera dla każdego n ∈ N, więc musimy dobrać w pewien sposób wartości n, by otrzymać oczekiwaną podzielność liczb.

Rozważmy przykład dzielenia dwóch liczb, z których jedna jest podzielna przez drugą, np. 48:4.

$48 : 4 = 12, r. 0$

Stąd:

$48 = 12 \cdot 4 + 0$

Możemy też zapisać:

$48 = 11 \cdot 4 + 4$

Liczba 4, która znajduje się w miejscu reszty z dzielenia, nie jest tak naprawdę resztą z dzielenia, ponieważ liczba 48 jest podzielna przez 4. Powyższa postać jest analogiczna do postaci, którą otrzymaliśmy w wyniku dzielenia (3n³-8n²+14n-8):(3n-5). Otrzymaliśmy "resztę z dzielenia" równą 7, a o podzielności możemy mówić, gdy reszta z dzielenia jest równa 0, więc szukamy takich wartości n, dla których liczba 3n-5 dzieli liczbę 3n³-8n²+14n-8. Stąd liczba 3n-5 musi być równa 7.

$3 n^{3} - 8 n^{2} + 14 n - 8 = (n^{2} - n + 3) \cdot 7 (3 n - 5) + 7$

Zatem:

$3 n - 5 = 7$

$3 n = 12 ∣ : 3$

$n = 4 \in N$

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy:

$n \in {2, 4}$

b) Liczby 1 i -1 są dzielnikami każdej liczby całkowitej, więc liczba n³-2n+1 jest podzielna przez liczbę n²+2n+2, gdy:

$n^{2} + 2 n + 2 = 1 lub n^{2} + 2 n + 2 = - 1$

$n^{2} + 2 n + 1 = 0 lub n^{2} + 2 n + 3 = 0$

$(n + 1)^{2} = 0 lub Δ = 4 - 12 < 0 n^{2} + 2 n + 3 = 0$

$n = - 1 \in / N$

Wykonujemy dzielenie (n³-2n+1):(n²+2n+2):

Otrzymujemy:

$n^{3} - 2 n + 1 = (n - 2) \cdot (n^{2} + 2 n + 2) + 5$

Zauważmy, że dla n ∈ N dane wyrażenia są LICZBAMI, a nie wielomianami, więc zajmujemy się dzieleniem liczb całkowitych.

Reszta z dzielenia jest różna od zera dla każdego n ∈ N, więc musimy dobrać w pewien sposób wartości n, by otrzymać oczekiwaną podzielność liczb.

Rozważmy przykład dzielenia dwóch liczb, z których jedna jest podzielna przez drugą, np. 48:4.

$48 : 4 = 12, r. 0$

Stąd:

$48 = 12 \cdot 4 + 0$

Możemy też zapisać:

$48 = 11 \cdot 4 + 4$

Liczba 4, która znajduje się w miejscu reszty z dzielenia, nie jest tak naprawdę resztą z dzielenia, ponieważ liczba 48 jest podzielna przez 4. Powyższa postać jest analogiczna do postaci, którą otrzymaliśmy w wyniku dzielenia (n³-2n+1):(n²+2n+2). Otrzymaliśmy "resztę z dzielenia" równą 5, a o podzielności możemy mówić, gdy reszta z dzielenia jest równa 0, więc szukamy takich wartości n, dla których liczba n²+2n+2 dzieli liczbę n³-2n+1. Stąd liczba n²+2n+2 musi być równa 5.

$n^{3} - 2 n + 1 = (n - 2) \cdot 5 (n^{2} + 2 n + 2) + 5$

Zatem:

$n^{2} + 2 n + 2 = 5$

$n^{2} + 2 n - 3 = 0$

$Δ = 4 + 12 = 16, Δ = 4$

$n = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3 \in / N lub n = \frac{- 2 + 4}{2} = 1 \in N$

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy:

$n = 1$

c) Liczby 1 i -1 są dzielnikami każdej liczby całkowitej, więc liczba n⁵+1 jest podzielna przez liczbę n²+1, gdy:

$n^{2} + 1 = 1 lub n^{2} + 1 = - 1$

$n^{2} = 0 lub r. sprzeczne n^{2} = - 2 < 0$

$n = 0 \in N$

Wykonujemy dzielenie (n⁵+1):(n²+1):

Otrzymujemy:

$n^{5} + 1 = (n^{3} - n) \cdot (n^{2} + 1) + (n + 1)$

Zauważmy, że dla n ∈ N dane wyrażenia są LICZBAMI, a nie wielomianami, więc zajmujemy się dzieleniem liczb całkowitych.

Sprawdzamy, dla jakich wartości n reszta z dzielenia jest równa 0:

$n + 1 = 0$

$n = - 1 \in / N$

Reszta z dzielenia jest różna od zera dla każdego n ∈ N, więc musimy dobrać w pewien sposób wartości n, by otrzymać oczekiwaną podzielność liczb.

Rozważmy przykład dzielenia dwóch liczb, z których jedna jest podzielna przez drugą, np. 48:4.

$48 : 4 = 12, r. 0$

Stąd:

$48 = 12 \cdot 4 + 0$

Możemy też zapisać:

$48 = 11 \cdot 4 + 4$

Liczba 4, która znajduje się w miejscu reszty z dzielenia, nie jest tak naprawdę resztą z dzielenia, ponieważ liczba 48 jest podzielna przez 4. Powyższa postać jest analogiczna do postaci, którą otrzymaliśmy w wyniku dzielenia (n⁵+1):(n²+1). Otrzymaliśmy "resztę z dzielenia" równą n+1, a o podzielności możemy mówić, gdy reszta z dzielenia jest równa 0, więc szukamy takich wartości n, dla których liczba n²+1 dzieli liczbę n⁵+1. Stąd liczba n²+1 musi być równa n+1.

$n^{5} + 1 = (n^{3} - n) \cdot n + 1 (n^{2} + 1) + (n + 1)$

Zatem:

$n^{2} + 1 = n + 1$

$n^{2} - n = 0$

$n (n - 1) = 0$

$n = 0 \in N lub n = 1 \in N$

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy:

$n \in {0, 1}$

d) Liczby 1 i -1 są dzielnikami każdej liczby całkowitej, więc liczba n⁴+3n²+8 jest podzielna przez liczbę n²+2, gdy:

$n^{2} + 2 = 1 lub n^{2} + 2 = - 1$

$r. sprzeczne n^{2} = - 1 < 0 lub r. sprzeczne n^{2} = - 3 < 0$

Wykonujemy dzielenie (n⁴+3n²+8):(n²+2):

Otrzymujemy:

$n^{4} + 3 n^{2} + 8 = (n^{2} + 1) \cdot (n^{2} + 2) + 6$

Zauważmy, że dla n ∈ N dane wyrażenia są LICZBAMI, a nie wielomianami, więc zajmujemy się dzieleniem liczb całkowitych.

Reszta z dzielenia jest różna od zera dla każdego n ∈ N, więc musimy dobrać w pewien sposób wartości n, by otrzymać oczekiwaną podzielność liczb.

Rozważmy przykład dzielenia dwóch liczb, z których jedna jest podzielna przez drugą, np. 48:4.

$48 : 4 = 12, r. 0$

Stąd:

$48 = 12 \cdot 4 + 0$

Możemy też zapisać:

$48 = 11 \cdot 4 + 4$

Liczba 4, która znajduje się w miejscu reszty z dzielenia, nie jest tak naprawdę resztą z dzielenia, ponieważ liczba 48 jest podzielna przez 4. Powyższa postać jest analogiczna do postaci, którą otrzymaliśmy w wyniku dzielenia (n⁴+3n²+8):(n²+2). Otrzymaliśmy "resztę z dzielenia" równą 6, a o podzielności możemy mówić, gdy reszta z dzielenia jest równa 0, więc szukamy takich wartości n, dla których liczba n²+2 dzieli liczbę n⁴+3n²+8. Stąd liczba n²+2 musi być równa 2, 3 lub 6 (ponieważ liczba 6 nie jest liczbą pierwszą i podzielność przez 6 implikuje również podzielność przez 2 i przez 3).