Rozłóż wielomian w na czynniki.- Zadanie 14: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) w (x) = x^{3} + (x - 1)^{3} + (x - 2)^{3} + (x - 3)^{3} =$

$= [x^{3} + (x - 3)^{3}] + [(x - 1)^{3} + (x - 2)^{3}] =$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów dla pierwszej i drugiej pary składników.

$= (x + x - 3) [x^{2} - x (x - 3) + (x - 3)^{2}] + (x - 1 + x - 2) [(x - 1)^{2} - (x - 1) (x - 2) + (x - 2)^{2}] =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - x^{2} + 3 x + x^{2} - 6 x + 9) + (2 x - 3) [x^{2} - 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x - x + 2) + x^{2} - 4 x + 4] =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (2 x - 3) [2 x^{2} - 6 x + 5 - (x^{2} - 3 x + 2)] =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (2 x - 3) (2 x^{2} - 6 x + 5 - x^{2} + 3 x - 2) =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 3) =$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$= (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 9 + x^{2} - 3 x + 3) =$

$= (2 x - 3) (2 x^{2} - 6 x + 12) =$

$= (2 x - 3) \cdot 2 (x^{2} - 3 x + 6) =$

$= 2 (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 6)$

Trójmian x²-3x+6 jest nierozkładalny, ponieważ:

$Δ = 9 - 24 < 0$

$b) w (x) = (x^{2} - x)^{3} + (x - 1)^{3} + (1 - x^{2})^{3} =$

$= [x (x - 1)]^{3} + (x - 1)^{3} + [- (x^{2} - 1)]^{3} =$

$= [x (x - 1)]^{3} + (x - 1)^{3} - (x^{2} - 1)^{3} =$

$= [x (x - 1)]^{3} + (x - 1)^{3} - [(x - 1) (x + 1)]^{3} =$

$= x^{3} (x - 1)^{3} + (x - 1)^{3} - (x - 1)^{3} (x + 1)^{3} =$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$= (x - 1)^{3} [x^{3} + 1 - (x + 1)^{3}] =$

Do wyrażenia w nawiasie kwadratowym stosujemy wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów.

$= (x - 1)^{3} [(x + 1) (x^{2} - x + 1) - (x + 1)^{3}] =$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$= (x - 1)^{3} (x + 1) [(x^{2} - x + 1) - (x + 1)^{2}] =$

$= (x - 1)^{3} (x + 1) [x^{2} - x + 1 - (x^{2} + 2 x + 1)] =$

$= (x - 1)^{3} (x + 1) (x^{2} - x + 1 - x^{2} - 2 x - 1) =$

$= (x - 1)^{3} (x + 1) \cdot (- 3 x) =$

$= - 3 x (x - 1)^{3} (x + 1)$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzory skróconego mnożenia stopnia 2

13:31

Metoda przeciwnych współczynników

10:05

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.