Jeżeli a>0, b>0, c>0 oraz a≠1 i b≠1, to: ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$   Zachodzi także własność: ${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$

---

Niech:

$a={\log }_{2}3$  

$b={\log }_{4}5$  

$c={\log }_{8}65$  

---

Zapiszmy dane liczby przy pomocy logarytmu o tej samej podstawie:

$a={\log }_{2}3$  

$b={\log }_{4}5=\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_{2}5}{2}=\frac{1}{2}{\log }_{2}5={\log }_2{5}^{\frac{1}{2}}={\log }_2\sqrt{5}$  

$c={\log }_{8}65=\frac{{\log }_{2}65}{{\log }_{2}8}=\frac{{\log }_{2}65}{3}=\frac{1}{3}{\log }_{2}65={\log }_2{65}^{\frac{1}{3}}={\log }_2\sqrt[3]{65}$  

---

Funkcja y=log₂x jest rosnąca, więc z nierówności:

$\sqrt{5}<3<\sqrt[3]{65}$  

wynika, że:

${\log }_2\sqrt{5}<{\log }_{2}3<{\log }_2\sqrt[3]{65}$  

$b<a<c$  

---

Z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt, gdy suma długości dwóch krótszych odcinków (b, a) jest większa od długości trzeciego odcinka (c).

Mamy:

$b+a={\log }_2\sqrt{5}+{\log }_{2}3={\log }_{2}3\sqrt{5}={\log }_2\sqrt{45}$  

$c={\log }_2\sqrt[3]{65}$  

Wiemy, że:

$\sqrt{45}>\sqrt{36}=6$  

$\sqrt[3]{65}<\sqrt[3]{125}=5$  

Zatem:

$\sqrt{45}>\sqrt[3]{65}$  

Funkcja y=log₂x jest rosnąca, więc z powyższej nierówności wynika, że:

${\log }_2\sqrt{45}>{\log }_2\sqrt[3]{65}$  

$b+a>c$  

Zatem liczby a, b, c są długościami boków pewnego trójkąta, co należało dowieść.