a) Rozwiąż trójkąt o kątach...- Zadanie 11: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunki długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R$

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku powyżej.

a) Mamy dane:

$α = 25^{\circ}$

$β = 35^{\circ}$

$L = 10 π$

Obliczamy miarę kąta γ:

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$25^{\circ} + 35^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$60^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$γ = 120^{\circ}$

Ze wzoru na obwód okręgu obliczamy długość promienia:

$L = 2 π R$

$10 π = 2 π R ∣ : 2 π$

$R = 5$

Obliczamy długość boku a, korzystając z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{sin α} = 2 R \cdot sin α$

$a = 2 R sin α$

$a = 2 \cdot 5 \cdot sin 25^{\circ} = 1025 \approx 10 \cdot 0, 4226 \approx 4, 2$

Obliczamy długość boku b, korzystając z twierdzenia sinusów:

$\frac{b}{sin β} = 2 R ∣ \cdot sin β$

$b = 2 R sin β$

$b = 2 \cdot 5 \cdot sin 35^{\circ} = 1035 \approx 10 \cdot 0, 5736 \approx 5, 7$

Obliczamy długość boku c, korzystając z twierdzenia sinusów:

$\frac{c}{sin γ} = 2 R \cdot sin γ$

$c = 2 R sin γ$

$c = 2 \cdot 5 \cdot sin 120^{\circ} = 10 \cdot sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = 10 \cdot sin 60^{\circ} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53$

$Odp. a = 4, 2, b = 5, 7, c = 53, γ = 120^{\circ} .$

b) Mamy dane:

$α = 30^{\circ}$

$β = 50^{\circ}$

Obliczamy miarę kąta γ:

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$30^{\circ} + 50^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$80^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$γ = 100^{\circ}$

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{sin α} = 2 R ∣ \cdot sin α$

$a = 2 R sin α$

oraz

$\frac{b}{sin β} = 2 R ∣ \cdot sin β$

$b = 2 R sin β$

oraz

$\frac{c}{sin γ} = 2 R ∣ \cdot sin γ$

$c = 2 R sin γ$

Obliczamy sinus kąta γ:

$sin γ = sin 100^{\circ} = sin (180^{\circ} - 80^{\circ}) = sin 80^{\circ} \approx 0, 9848$

Obliczamy pole trójkąta:

$P = \frac{a b c}{4 R} = \frac{2 R sin α \cdot 2 R sin β \cdot 2 R sin γ}{4 R} = 2 R^{2} sin α sin β sin γ = 2 R^{2} \cdot sin 30^{\circ} \cdot sin 50^{\circ} \cdot sin 100^{\circ} \approx 2 R^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0, 7660 \cdot 0, 9848 \approx R^{2} \cdot 0, 75 = 0, 75 R^{2}$