Pole równoległoboku, w którym kąt ostry 𝛼 jest zawarty między bokami a i b wyraża się wzorem: $P=ab\sin \alpha$

---

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

$a=15$  

$b=8$  

$\cos \alpha =\frac{2}{3}$  

Obliczamy sinus kąta α, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{4}{9}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}>0\text{lub}\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

Ujemną wartość sinusa odrzucamy, ponieważ kąt α jest ostry. Otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$  

Obliczamy pole równoległoboku:

$P=ab\sin \alpha =15\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=40\sqrt{5}$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

$h_a=4$  

$h_b=6$  

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta CDF obliczamy przybliżoną długość boku a:

$\frac{h_b}{a}=\sin {49}^{\circ }$  

$a=\frac{h_b}{\sin {49}^{\circ }}\approx \frac{6}{0,7547}\approx 7,95\approx 8,0$  

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ADE obliczamy przybliżoną długość boku b:

$\frac{h_a}{b}=\sin {49}^{\circ }$  

$b=\frac{h_a}{\sin {49}^{\circ }}\approx \frac{4}{0,7547}\approx 5,30\approx 5,3$  

Obliczamy pole równoległoboku:

$P=ab\sin {49}^{\circ }\approx 7,95\cdot 5,3\cdot 0,7547=31,7992845\approx 31,8$