Wyznacz wszystkie liczby całkowite...- Zadanie 14: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) f (x) = - x^{2} + 6 x - 5 + 4 - x^{2}$

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych, więc muszą zachodzić nierówności:

$(1) - x^{2} + 6 x - 5 \geq 0 i (2) 4 - x^{2} \geq 0$

Rozwiązujemy nierówność (1):

$- x^{2} + 6 x - 5 \geq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 36 - 20 = 16, Δ = 4$

$x = \frac{- 6 - 4}{- 2} = \frac{- 10}{- 2} = 5 lub x = \frac{- 6 + 4}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in ⟨ 1, 5 ⟩$

Rozwiązujemy nierówność (2):

$4 - x^{2} \geq 0 ∣ \cdot (- 1)$

$x^{2} - 4 \leq 0$

$(x - 2) (x + 2) \leq 0$

Odczytujemy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$x = - 2 lub x = 2$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in ⟨ - 2, 2 ⟩$

Dziedziną funkcji f jest część wspólna zbiorów rozwiązań nierówności (1) i (2):

$x \in ⟨ 1, 5 ⟩ i x \in ⟨ - 2, 2 ⟩$

$x \in ⟨ 1, 2 ⟩$

Zatem:

$D = ⟨ 1, 2 ⟩$

Liczby całkowite należące do dziedziny funkcji: 1, 2.

$b) f (x) = x^{2} - 5 x + 4 - x - x^{2} + 6$

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych, więc muszą zachodzić nierówności:

$(1) x^{2} - 5 x + 4 \geq 0 i (2) x - x^{2} + 6 \geq 0$

Rozwiązujemy nierówność (1):

$x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9, Δ = 3$

$x = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 lub x = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 4, + \infty)$

Rozwiązujemy nierówność (2):

$x - x^{2} + 6 \geq 0$

$- x^{2} + x + 6 \geq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6 = 1 + 24 = 25, Δ = 5$

$x = \frac{- 1 - 5}{- 2} = \frac{- 6}{- 2} = 3 lub x = \frac{- 1 + 5}{- 2} = \frac{4}{- 2} = - 2$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu, przechodzącą przez zaznaczone punkty.