Funkcjami równymi nazywamy funkcje, które mają równe dziedziny i dla każdego argumentu należącego do ich wspólnej dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe. Symbolicznie tę definicję możemy zapisać następująco: $f=g\iff \left[D_f=D_g=D\wedge {\forall }_{x\in D}f\left(x\right)=g\left(x\right)\right]$

---

$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{{\left(x+4\right)}^4{\left(x-3\right)}^5}{{\left(x+4\right)}^5{\left(x-3\right)}^4},g\left(x\right)=\frac{x-3}{x+4}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

${\left(x+4\right)}^5\ne 0\text{i}{\left(x-3\right)}^4\ne 0$  

$x+4\ne 0\text{i}x-3\ne 0$  

$x\ne -4\text{i}x\ne 3$  

$D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{-4,3\right\}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$x+4\ne 0$  

$x\ne -4$  

$D_g=\mathbf{R}\backslash \left\{-4\right\}$  

Funkcje f i g mogą być równe tylko wtedy, gdy będą miały takie same dziedziny. Dziedzina funkcji f jest bardziej "ograniczająca", więc ona będzie szukanym zbiorem D.

$D=D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{-4,3\right\}$  

Należy sprawdzić, że funkcje f i g możemy przedstawić przy pomocy tego samego wzoru (czyli, że dla każdego argumentu należącego do zbioru D wartości obu funkcji są jednakowe). Tylko wówczas funkcje f i g będą równe (sama równość dziedzin nie jest wystarczająca).

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=\frac{{\left(x+4\right)}^4{\left(x-3\right)}^5}{{\left(x+4\right)}^5{\left(x-3\right)}^4}=\frac{x-3}{x+4}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\text{dla kaz˙dego}x\in D$  

Wobec tego szukany zbiór D to:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-4,3\right\}$  

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2-5x+6},g\left(x\right)=\frac{x+2}{x-3}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x^2-5x+6\ne 0$  

$\Delta =25-24=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x\ne \frac{5-1}{2}=2\text{i}x\ne \frac{5+1}{2}=3$  

$D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{2,3\right\}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$x-3\ne 0$  

$x\ne 3$  

$D_g=\mathbf{R}\backslash \left\{3\right\}$  

Funkcje f i g mogą być równe tylko wtedy, gdy będą miały takie same dziedziny. Dziedzina funkcji f jest bardziej "ograniczająca", więc ona będzie szukanym zbiorem D.

$D=D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{2,3\right\}$  

Należy sprawdzić, że funkcje f i g możemy przedstawić przy pomocy tego samego wzoru (czyli, że dla każdego argumentu należącego do zbioru D wartości obu funkcji są jednakowe). Tylko wówczas funkcje f i g będą równe (sama równość dziedzin nie jest wystarczająca).

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2-5x+6}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{x+2}{x-3}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\text{dla kaz˙dego}x\in D$  

Wobec tego szukany zbiór D to:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{2,3\right\}$  

---

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{x^3+x^2-\left(x+1\right)}{x^4-2x^2+1},g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x^4-2x^2+1\ne 0$  

${\left(x^2-1\right)}^2\ne 0$  

$x^2-1\ne 0$  

$x^2\ne 1$  

$x\ne -1\text{i}x\ne 1$  

$D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

$D_g=\mathbf{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Funkcje f i g mogą być równe tylko wtedy, gdy będą miały takie same dziedziny. Dziedzina funkcji f jest bardziej "ograniczająca", więc ona będzie szukanym zbiorem D.

$D=D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

Należy sprawdzić, że funkcje f i g możemy przedstawić przy pomocy tego samego wzoru (czyli, że dla każdego argumentu należącego do zbioru D wartości obu funkcji są jednakowe). Tylko wówczas funkcje f i g będą równe (sama równość dziedzin nie jest wystarczająca).

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=\frac{x^3+x^2-\left(x+1\right)}{x^4-2x^2+1}=\frac{x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{1}{x-1}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\text{dla kaz˙dego}x\in D$  

Wobec tego szukany zbiór D to:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

---

$\text{d)}f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{x^2+x},g\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-1}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x^2+x\ne 0$  

$x\left(x+1\right)\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}x+1\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}x\ne -1$  

$D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,0\right\}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$x^2-1\ne 0$  

$x^2\ne 1$  

$x\ne -1\text{i}x\ne 1$  

$D_g=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

Funkcje f i g mogą być równe tylko wtedy, gdy będą miały takie same dziedziny. Obie dziedziny nie zawierają argumentu -1, ponadto jedna z nich nie zawiera argumentu 0, a druga - argumentu 1. Stąd szukanym zbiorem D będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb, które nie należą do dziedziny D_f lub do dziedziny D_g.

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,0,1\right\}$  

Należy sprawdzić, że funkcje f i g możemy przedstawić przy pomocy tego samego wzoru (czyli, że dla każdego argumentu należącego do zbioru D wartości obu funkcji są jednakowe). Tylko wówczas funkcje f i g będą równe (sama równość dziedzin nie jest wystarczająca).

Liczba 1 nie należy do dziedziny funkcji f (1 ∉ D_f), jednak należy do zbioru D, więc należy rozszerzyć wzór funkcji f przez wyrażenie (x-1). Wówczas wzór funkcji przyjmie postać:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{x^2+x}=\frac{x^2-3x}{x^2+x}\cdot \frac{x-1}{x-1}=\frac{\left(x^2-3x\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+x\right)\left(x-1\right)}=\frac{x^3-x^2-3x^2+3x}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{x^3-4x^2+3x}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$  

Liczba 0 nie należy do dziedziny funkcji g (0 ∉ D_g), jednak należy do zbioru D, więc należy rozszerzyć wzór funkcji g przez wyrażenie x. Wówczas wzór funkcji przyjmie postać:

$g\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-1}=\frac{x^2-4x+3}{x^2-1}\cdot \frac{x}{x}=\frac{x\left(x^2-4x+3\right)}{x\left(x^2-1\right)}=\frac{x^3-4x^2+3x}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\text{dla kaz˙dego}x\in D$  

Wobec tego szukany zbiór D to:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,0,1\right\}$  

---

$\text{e)}f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3-4x},g\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{\left(x-2\right){\left(x+2\right)}^2}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x^3-4x\ne 0$  

$x\left(x^2-4\right)\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}{x}^2-4\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}{x}^2\ne 4$  

$x\ne 0\text{i}x\ne -2\text{i}x\ne 2$  

$D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{-2,0,2\right\}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$x-2\ne 0\text{i}{\left(x+2\right)}^2\ne 0$  

$x\ne 2\text{i}x+2\ne 0$  

$x\ne 2\text{i}x\ne -2$  

$D_g=\mathbf{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

Funkcje f i g mogą być równe tylko wtedy, gdy będą miały takie same dziedziny. Dziedzina funkcji f jest bardziej "ograniczająca", więc ona będzie szukanym zbiorem D.

$D=D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{-2,0,2\right\}$  

Należy sprawdzić, że funkcje f i g możemy przedstawić przy pomocy tego samego wzoru (czyli, że dla każdego argumentu należącego do zbioru D wartości obu funkcji są jednakowe). Tylko wówczas funkcje f i g będą równe (sama równość dziedzin nie jest wystarczająca).

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3-4x}=\frac{x^2}{x\left(x^2-4\right)}=\frac{x}{x^2-4}=\frac{x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$  

Przekształcamy wzór funkcji g:

$g\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{\left(x-2\right){\left(x+2\right)}^2}=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right){\left(x+2\right)}^2}=\frac{x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\text{dla kaz˙dego}x\in D$  

Wobec tego szukany zbiór D to:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-2,0,2\right\}$  

---

$\text{f)}f\left(x\right)=\frac{x^2-x}{x^4-x},g\left(x\right)=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x^3-1\right)}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x^4-x\ne 0$  

$x\left(x^3-1\right)\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}{x}^3-1\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}{x}^3\ne 1$  

$x\ne 0\text{i}x\ne 1$  

$D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{0,1\right\}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$x-1\ne 0\text{i}{x}^3-1\ne 0$  

$x\ne 1\text{i}{x}^3-1\ne 0$  

$x\ne 1\text{i}{x}^3\ne 1$  

$x\ne 1\text{i}x\ne 1$  

$D_g=\mathbf{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Funkcje f i g mogą być równe tylko wtedy, gdy będą miały takie same dziedziny. Dziedzina funkcji f jest bardziej "ograniczająca", więc ona będzie szukanym zbiorem D.

$D=D_f=\mathbf{R}\backslash \left\{0,1\right\}$  

Należy sprawdzić, że funkcje f i g możemy przedstawić przy pomocy tego samego wzoru (czyli, że dla każdego argumentu należącego do zbioru D wartości obu funkcji są jednakowe). Tylko wówczas funkcje f i g będą równe (sama równość dziedzin nie jest wystarczająca).

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-x}{x^4-x}=\frac{x\left(x-1\right)}{x\left(x^3-1\right)}=\frac{x-1}{x^3-1}$  

Przekształcamy wzór funkcji g:

$g\left(x\right)=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x^3-1\right)}=\frac{x-1}{x^3-1}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\text{dla kaz˙dego}x\in D$  

Wobec tego szukany zbiór D to:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{0,1\right\}$