a) Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{6x-1}{x-1}=\frac{6\left(x-1+1\right)-1}{x-1}=\frac{6\left(x-1\right)+6-1}{x-1}=\frac{6\left(x-1\right)+5}{x-1}=6+\frac{5}{x-1}=\frac{5}{x-1}+6$  

Obie współrzędne punktów należących do hiperboli y=f(x) są całkowite, gdy liczba x-1 jest dzielnikiem liczby 5, czyli jest jedną z liczb: -5, -1, 1, 5.

Mamy:

$x-1=-5\iff x=-4\notin \mathbf{N}$  

$x-1=-1\iff x=0\in \mathbf{N}$  

$x-1=1\iff x=2\in \mathbf{N}$  

$x-1=5\iff x=6\in \mathbf{N}$  

Obliczamy wartości funkcji f dla naturalnych argumentów ze zbioru {-4, 0, 2, 6}:

$f\left(0\right)=\frac{5}{0-1}+6=\frac{5}{-1}+6=-5+6=1\in \mathbf{N}$  

$f\left(2\right)=\frac{5}{2-1}+6=\frac{5}{1}+6=5+6=11\in \mathbf{N}$  

$f\left(6\right)=\frac{5}{6-1}+6=\frac{5}{5}+6=1+6=7\in \mathbf{N}$  

Zatem wszystkie punkty o obu współrzędnych naturalnych należące do wykresu funkcji f to:

$\left(0,1\right),\left(2,11\right),\left(6,7\right)$  

---

b) Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x+1}=\frac{3\left(x+1-1\right)-5}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)-3-5}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)-8}{x+1}=3-\frac{8}{x+1}=\frac{-8}{x+1}+3$  

Obie współrzędne punktów należących do hiperboli y=f(x) są całkowite, gdy liczba x+1 jest dzielnikiem liczby -8, czyli jest jedną z liczb: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8.

Mamy:

$x+1=-8\iff x=-9\notin \mathbf{N}$  

$x+1=-4\iff x=-5\notin \mathbf{N}$  

$x+1=-2\iff x=-3\notin \mathbf{N}$  

$x+1=-1\iff x=-2\notin \mathbf{N}$  

$x+1=1\iff x=0\in \mathbf{N}$  

$x+1=2\iff x=1\in \mathbf{N}$  

$x+1=4\iff x=3\in \mathbf{N}$  

$x+1=8\iff x=7\in \mathbf{N}$  

Obliczamy wartości funkcji f dla naturalnych argumentów ze zbioru {-9, -5, -3, -2, 0, 1, 3, 7}:

$f\left(0\right)=\frac{-8}{0+1}+3=-\frac{8}{1}+3=-8+3=-5\notin \mathbf{N}$  

$f\left(1\right)=\frac{-8}{1+1}+3=-\frac{8}{2}+3=-4+3=-1\notin \mathbf{N}$  

$f\left(3\right)=\frac{-8}{3+1}+3=-\frac{8}{4}+3=-2+3=1\in \mathbf{N}$  

$f\left(7\right)=\frac{-8}{7+1}+3=-\frac{8}{8}+3=-1+3=2\in \mathbf{N}$  

Zatem wszystkie punkty o obu współrzędnych naturalnych należące do wykresu funkcji f to:

$\left(3,1\right),\left(7,2\right)$  

---

c) Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{9-6x}{2x-1}=\frac{-6x+9}{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=\frac{-3x+\frac{9}{2}}{x-\frac{1}{2}}=\frac{-3\left(x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\frac{9}{2}}{x-\frac{1}{2}}=\frac{-3\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}}{x-\frac{1}{2}}=\frac{-3\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{6}{2}}{x-\frac{1}{2}}=\frac{-3\left(x-\frac{1}{2}\right)+3}{x-\frac{1}{2}}=-3+\frac{3}{x-\frac{1}{2}}=\frac{3}{x-\frac{1}{2}}-3$   

Rozszerzając licznik i mianownik pierwszego składnika przez 2, możemy zapisać wzór funkcji f w następującej postaci:

$f\left(x\right)=\frac{3}{x-\frac{1}{2}}-3=\frac{2\cdot 3}{2\cdot \left(x-\frac{1}{2}\right)}-3=\frac{6}{2x-1}-3$  

Obie współrzędne punktów należących do hiperboli y=f(x) są całkowite, gdy liczba 2x-1 jest dzielnikiem liczby 6, czyli jest jedną z liczb: -6, -3 -2, -1, 1, 2, 3, 6.

Mamy:

$2x-1=-6\iff 2x=-5\iff x=-\frac{5}{2}\notin \mathbf{N}$  

$2x-1=-3\iff 2x=-2\iff x=-1\notin \mathbf{N}$  

$2x-1=-2\iff 2x=-1\iff x=-\frac{1}{2}\notin \mathbf{N}$  

$2x-1=-1\iff 2x=0\iff x=0\in \mathbf{N}$  

$2x-1=1\iff 2x=2\iff x=1\in \mathbf{N}$  

$2x-1=2\iff 2x=3\iff x=\frac{3}{2}\notin \mathbf{N}$  

$2x-1=3\iff 2x=4\iff x=2\in \mathbf{N}$  

$2x-1=6\iff 2x=7\iff x=\frac{7}{2}\notin \mathbf{N}$  

Obliczamy wartości funkcji f dla naturalnych argumentów ze zbioru  $\left\{-\frac{5}{2},-1,-\frac{1}{2},0,1,\frac{3}{2},2,\frac{7}{2}\right\}:$  

$f\left(0\right)=\frac{6}{0-1}-3=\frac{6}{-1}-3=-6-3=-9\notin \mathbf{N}$  

$f\left(1\right)=\frac{6}{2-1}-3=\frac{6}{1}-3=6-3=3\in \mathbf{N}$  

$f\left(2\right)=\frac{6}{4-1}-3=\frac{6}{3}-3=2-3=-1\notin \mathbf{N}$  

Zatem wszystkie punkty o obu współrzędnych naturalnych należące do wykresu funkcji f to:

$\left(1,3\right)$  

---

d) Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{6-1,5x}{0,5x-1}=\frac{2\cdot \left(6-1,5x\right)}{2\cdot \left(0,5x-1\right)}=\frac{12-3x}{x-2}=\frac{-3x+12}{x-2}=\frac{-3\left(x-2+2\right)+12}{x-2}=\frac{-3\left(x-2\right)-6+12}{x-2}=\frac{-3\left(x-2\right)+6}{x-2}=-3+\frac{6}{x-2}=\frac{6}{x-2}-3$  

Obie współrzędne punktów należących do hiperboli y=f(x) są całkowite, gdy liczba x-2 jest dzielnikiem liczby 6, czyli jest jedną z liczb: -6, -3 -2, -1, 1, 2, 3, 6.

Mamy:

$x-2=-6\iff x=-4\notin \mathbf{N}$  

$x-2=-3\iff x=-1\notin \mathbf{N}$  

$x-2=-2\iff x=0\in \mathbf{N}$  

$x-2=-1\iff x=1\in \mathbf{N}$  

$x-2=1\iff x=3\in \mathbf{N}$  

$x-2=2\iff x=4\in \mathbf{N}$  

$x-2=3\iff x=5\in \mathbf{N}$  

$x-2=6\iff x=8\in \mathbf{N}$  

Obliczamy wartości funkcji f dla naturalnych argumentów ze zbioru {-4, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 8}:

$f\left(0\right)=\frac{6}{0-2}-3=\frac{6}{-2}-3=-3-3=-6\notin \mathbf{N}$  

$f\left(1\right)=\frac{6}{1-2}-3=\frac{6}{-1}-3=-6-3=-9\notin \mathbf{N}$  

$f\left(3\right)=\frac{6}{3-2}-3=\frac{6}{1}-3=6-3=3\in \mathbf{N}$  

$f\left(4\right)=\frac{6}{4-2}-3=\frac{6}{2}-3=3-3=0\in \mathbf{N}$  

$f\left(5\right)=\frac{6}{5-2}-3=\frac{6}{-3}-3=-2-3=-5\notin \mathbf{N}$  

$f\left(8\right)=\frac{6}{8-2}-3=\frac{6}{6}-3=1-3=-2\notin \mathbf{N}$  

Zatem wszystkie punkty o obu współrzędnych naturalnych należące do wykresu funkcji f to:

$\left(3,3\right),\left(4,0\right)$