Rysunek poglądowy:

Obliczamy, dla jakich argumentów prosta y=x i hiperbola y=²/_x się przecinają:

$x=\frac{2}{x}\mid \cdot x,x\ne 0$  

$x^2=2$  

$x=\sqrt{2}\text{lub}x=-\sqrt{2}$  

Punkty A i C leżą na prostej y=x, więc pierwsze i drugie współrzędne punktów są takie same. Stąd:

$A\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right),C\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$  

Obliczamy, dla jakich argumentów prosta y=-x i hiperbola y=-²/_x się przecinają:

$-x=-\frac{2}{x}\mid \cdot \left(-x\right),x\ne 0$  

$x^2=2$  

$x=\sqrt{2}\text{lub}x=-\sqrt{2}$  

Punkty B i D leżą na prostej y=-x, więc pierwsze i drugie współrzędne punktów są liczbami przeciwnymi. Stąd:

$B\left(\sqrt{2},-\sqrt{2}\right),D\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$  

Punkty A i B mają te same pierwsze współrzędne, więc leżą na prostej x=√2. Analogicznie punkty C i D leżą na prostej x=-√2. Stąd:

$\left|OE\right|=\left|\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$  

$\left|OF\right|=\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$  

$\left|AB\right|=\left|AE\right|+\left|EB\right|=\left|\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$  

$\left|DC\right|=\left|DF\right|+\left|FC\right|=\left|\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$  

Obliczamy pole zacieniowanej figury jako sumę pól trójkątów ABO i CDO:

$P=P+\text{ABO}+P_{\text{CDO}}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|OE\right|+\frac{1}{2}\cdot \left|DC\right|\cdot \left|OF\right|=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2+2=4$