$w\left(x\right)=x^3-19x-30$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -30, -15, -10, -6, -5, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-19\cdot \left(-1\right)-30=-1+19-30\ne 0$  

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-19\cdot \left(-2\right)-30=-8+38-30=0$  

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+2.

Wykonujemy dzielenie w:(x+2), stosując schemat Hornera.

	1	0	-19	-30
-2		-2	4	30
	1	-2	-15	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x+2\right)=x^2-2x-15$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-2x-15:

$\Delta =4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$x=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3\text{lub}x=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Zatem pierwiastkami wielomianu w są liczby: -3, -2, 5.

---

Obliczamy pierwiastki wielomianu f:

$f\left(x\right)=0$  

$w\left(x+4\right)=0$  

Podstawiamy x+4=t.

$w\left(t\right)=0$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby: -3, -2, 5, więc:

$t=-3\text{lub}t=-2\text{lub}t=5$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$x+4=-3\text{lub}x+4=-2\text{lub}x+4=5$  

$x=-7\text{lub}x=-6\text{lub}x=1$  

---

Obliczamy pierwiastki wielomianu g:

$g\left(x\right)=0$  

$w\left(2x\right)=0$  

Podstawiamy 2x=t.

$w\left(t\right)=0$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby: -3, -2, 5, więc:

$t=-3\text{lub}t=-2\text{lub}t=5$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$2x=-3\text{lub}2x=-2\text{lub}2x=5\mid :2$  

$x=-\frac{7}{2}\text{lub}x=-1\text{lub}x=\frac{5}{2}$  

---

Obliczamy pierwiastki wielomianu h:

$h\left(x\right)=0$  

$w\left(3x-1\right)=0$  

Podstawiamy 3x-1=t.

$w\left(t\right)=0$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby: -3, -2, 5, więc:

$t=-3\text{lub}t=-2\text{lub}t=5$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$3x-1=-3\text{lub}3x-1=-2\text{lub}3x-1=5$  

$3x=-2\text{lub}3x=-1\text{lub}3x=6\mid :3$  

$x=-\frac{2}{3}\text{lub}x=-\frac{1}{3}\text{lub}x=2$