Trójmian kwadratowy można przedstawić w postaci iloczynowej, gdy wyróżnik tego trójmianu jest nieujemny, czyli Δ≥0.

---

$\text{a)}y=2x^2+12x-14$  

$\Delta ={12}^2-4\cdot 2\cdot \left(-14\right)=144+112=256,\sqrt{\Delta }=16$  

Δ>0, więc trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej.

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$x_1=\frac{-12-16}{2\cdot 2}=\frac{-28}{4}=-7$  

$x_2=\frac{-12+16}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$  

---

$\text{b)}y=-3x^2-5x+2$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 2=25+24=49,\sqrt{\Delta }=7$  

Δ>0, więc trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej.

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$x_1=\frac{5-7}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$  

$x_2=\frac{5+7}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{12}{-6}=-2$  

---

$\text{c)}y=x^2+3x+4,5$  

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 4,5=9-18=-9<0$  

Δ<0, więc trójmianu nie można przedstawić w postaci iloczynowej.

---

$\text{d)}y=3x^2+2x+\frac{1}{3}$  

$\Delta =2^2-4\cdot 3\cdot \frac{1}{3}=4-4=0$  

Δ=0, więc trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej.

Obliczamy pierwiastek trójmianu:

$x_0=\frac{-2}{2\cdot 3}=-\frac{1}{3}$  

---

$\text{e)}y=4x^2-4x+\sqrt{17}$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 4\cdot \sqrt{17}=16-16\sqrt{17}=16\left(1-\sqrt{17}\right)<0$  

Δ<0, więc trójmianu nie można przedstawić w postaci iloczynowej.

---

$\text{f)}y={\left(x-\sqrt{5}\right)}^2-5$  

Mamy wyrażenie postaci a²-b², więc trójmian możemy przedstawić w postaci iloczynowej, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$y={\left(x-\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2=\left(x-\sqrt{5}-\sqrt{5}\right)\left(x-\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)=\left(x-2\sqrt{5}\right)\cdot x=x\left(x-2\sqrt{5}\right)$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki trójmianu:

$x_1=0,x_2=2\sqrt{5}$