Rozwiąż nierówność.- Zadanie 7: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a) 2 x^{2} - 3 x \geq - 1$

$2 x^{2} - 3 x + 1 \geq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1, Δ = 1 = 1$

$x_{1} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

$b) 4 x + 1 < 5 x^{2}$

$- 5 x^{2} + 4 x + 1 < 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 1 = 16 + 20 = 36, Δ = 36 = 6$

$x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{- 10}{- 10} = 1, x_{2} = \frac{- 4 + 6}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{2}{- 10} = - \frac{1}{5}$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{5}) \cup (1, + \infty)$

$c) 3 x^{2} + 3 \leq 6 x$

$3 x^{2} - 6 x + 3 \leq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0$

$x_{0} = \frac{6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Pierwiastek trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x = 1$

$d) - x^{2} - 4 > - x$

$- x^{2} + x - 4 > 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 1 - 16 = - 15 < 0$

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu i parabola znajduje się pod osią X.