Twierdzenie sinusów W dowolnym trójkącie stosunki długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$

---

Uwaga: Przyjmiemy, że dane kąty i boki umieszczone są tak jak na rysunku poniżej (w treści zadania powinno być to doprecyzowane):

---

a) Mamy dane:

$\left|AC\right|=1,\left|BC\right|=\sqrt{2},\alpha ={45}^{\circ }$  

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{\left|BC\right|}{\sin \alpha }=\frac{\left|AC\right|}{\sin \beta }$  

$\frac{\sqrt{2}}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{1}{\sin \beta }$  

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sin \beta }$  

$\sqrt{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sin \beta }$  

$2=\frac{1}{\sin \beta }\mid \cdot \sin \beta$  

$2\sin \beta =1\mid :2$  

$\beta =\frac{1}{2}$  

Zatem:

$\beta ={30}^{\circ }\text{lub}\beta ={180}^{\circ }-{30}^{\circ }={150}^{\circ }$  

Przypadek β=150⁰ jest sprzeczny, ponieważ wówczas α+β>180⁰. Otrzymujemy więc:

$\beta ={30}^{\circ }$  

---

b) Mamy dane:

$\left|AB\right|=\sqrt{3},\alpha ={45}^{\circ },\gamma ={60}^{\circ }$  

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{\left|BC\right|}{\sin \alpha }=\frac{\left|AB\right|}{\sin \gamma }$  

$\frac{\left|BC\right|}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\sin {60}^{\circ }}$  

$\frac{\left|BC\right|}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$  

$\frac{\left|BC\right|}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

$\frac{\left|BC\right|}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\mid \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{2}$