Rozwiąż trójkąt o danych kątach i boku.- Zadanie 1: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunki długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R$

Uwaga: Przyjmiemy, że dane kąty i boki umieszczone są tak jak na rysunku poniżej (w treści zadania powinno być to doprecyzowane):

a) Mamy dane:

$α = 60^{\circ}, β = 45^{\circ}, c = 4$

Z sumy kątów w trójkącie obliczamy miarę kąta γ:

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$60^{\circ} + 45^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$105^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$γ = 75^{\circ}$

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ} ∣ \cdot sin α$

$a = \frac{c sin α}{sin γ} = \frac{4 \cdot sin 60 ^{\circ}}{sin 75 ^{\circ}} = \frac{4 \cdot \frac{3}{2}}{sin 75 ^{\circ}} = \frac{2 3}{sin 75 ^{\circ}} \approx \frac{2 \cdot 1 , 7321}{0 , 9659} \approx 3, 6$

oraz

$\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} ∣ \cdot sin β$

$b = \frac{c sin β}{sin γ} = \frac{4 \cdot sin 45 ^{\circ}}{sin 75 ^{\circ}} = \frac{4 \cdot \frac{2}{2}}{sin 75 ^{\circ}} = \frac{2 2}{sin 75 ^{\circ}} \approx \frac{2 \cdot 1 , 4142}{0 , 9659} \approx 2, 9$

$Odp. a \approx 3, 6, b \approx 2, 9, γ = 75^{\circ} .$

b) Mamy dane:

$α = 120^{\circ}, β = 30^{\circ}, c = 12$

Z sumy kątów w trójkącie obliczamy miarę kąta γ:

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$120^{\circ} + 30^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$150^{\circ} + γ = 180^{\circ}$

$γ = 30^{\circ}$

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ} ∣ \cdot sin α$

$a = \frac{c sin α}{sin γ} = \frac{12 \cdot sin 120 ^{\circ}}{sin 30 ^{\circ}} = \frac{12 \cdot sin ( 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} )}{sin 30 ^{\circ}} = \frac{12 \cdot sin 60 ^{\circ}}{sin 30 ^{\circ}} = \frac{12 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{6 3}{\frac{1}{2}} = 123$

γ=β, więc trójkąt jest równoramienny i stąd:

$b = c = 12$

$Odp. a = 123, b = 12, γ = 30^{\circ} .$

c) Mamy dane:

$β = 100^{\circ}, γ = 60^{\circ}, a = 9$

Z sumy kątów w trójkącie obliczamy miarę kąta α:

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$α + 100^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$

$α + 160^{\circ} = 180^{\circ}$

$α = 20^{\circ}$

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} ∣ \cdot sin β$

$b = \frac{a sin β}{sin α} = \frac{9 \cdot sin 100 ^{\circ}}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{9 \cdot sin ( 180 ^{\circ} - 80 ^{\circ} )}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{9 \cdot sin 80 ^{\circ}}{sin 20 ^{\circ}} \approx \frac{9 \cdot 0 , 9848}{0 , 3420} \approx 25, 9$

oraz

$\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ} ∣ \cdot sin γ$

$c = \frac{a sin γ}{sin α} = \frac{9 \cdot sin 60 ^{\circ}}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{9 \cdot \frac{3}{2}}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{9 3}{2 sin 20 ^{\circ}} \approx \frac{9 \cdot 1 , 7321}{2 \cdot 0 , 3420} \approx 22, 8$

$Odp. b \approx 25, 9, c \approx 22, 8, α = 20^{\circ} .$

d) Mamy dane:

$α = 40^{\circ}, γ = 135^{\circ}, b = 10$

Z sumy kątów w trójkącie obliczamy miarę kąta α:

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$40^{\circ} + β + 135^{\circ} = 180^{\circ}$

$β + 175^{\circ} = 180^{\circ}$

$β = 5^{\circ}$

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} ∣ \cdot sin α$

$a = \frac{b sin α}{sin β} = \frac{10 \cdot sin 40 ^{\circ}}{sin 5 ^{\circ}} \approx \frac{10 \cdot 0 , 6428}{0 , 0872} \approx 73, 7$

(Uwaga: Otrzymany wynik różni się od tego z odpowiedzi, ponieważ autorzy przyjęli dokładniejsze przybliżenie. W naszym rozwiązaniu użyto przybliżeń do czwartego miejsca po przecinku odczytanych z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.)

oraz

$\frac{c}{sin γ} = \frac{b}{sin β} ∣ \cdot sin γ$

$c = \frac{b sin γ}{sin β} = \frac{10 \cdot sin 135 ^{\circ}}{sin 5 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot sin ( 180 ^{\circ} - 45 ^{\circ} )}{sin 5 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot sin 45 ^{\circ}}{sin 5 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot \frac{2}{2}}{sin 5 ^{\circ}} = \frac{5 2}{sin 5 ^{\circ}} \approx \frac{5 \cdot 1 , 4142}{0 , 0872} \approx 81, 1$