$\text{Dla}\alpha \in ⟨0^{\circ },{180}^{\circ }⟩:$   ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1-\text{jedynka trygonometryczna}$   $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\text{gdzie}\alpha \ne {90}^{\circ }$

---

Kąt α jest ostry, więc:

$\sin \alpha >0,\cos \alpha >0,\text{tg}\alpha >0$  

---

$\text{a)}\sin \alpha =0,6=\frac{3}{5}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{9}{25}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{16}{25}$  

$\cos \alpha =\frac{4}{5}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{4}{5}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{4}{5}$  

Obliczamy tgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{4}=\frac{3}{4}$  

---

$\text{b)}\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{3}{4}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$  

$\cos \alpha =\frac{1}{2}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{1}{2}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{1}{2}$  

Obliczamy tgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}$  

---

$\text{c)}\cos \alpha =\frac{15}{17}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{15}{17}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{225}{289}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{64}{289}$  

$\sin \alpha =\frac{8}{17}>0\text{lub}\sin \alpha =-\frac{8}{17}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc sinα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{8}{17}$  

Obliczamy tgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{17}\cdot \frac{17}{15}=\frac{8}{15}$  

---

$\text{d)}\cos \alpha =\frac{1}{5}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{1}{25}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{24}{25}$  

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}>0\text{lub}\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{6}}{5}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc sinα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$  

Obliczamy tgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \frac{5}{1}=2\sqrt{6}$  

---

$\text{e)}\text{tg}\alpha =0,75=\frac{3}{4}$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}\mid \cdot \cos \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{3}{4}\cos \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{3}{4}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{9}{16}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{9}{16}{\cos }^2\alpha +\frac{16}{16}{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{25}{16}{\cos }^2\alpha =1\mid \cdot \frac{16}{25}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{16}{25}$  

$\cos \alpha =\frac{4}{5}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{4}{5}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{4}{5}$  

Obliczamy sinα:

$\sin \alpha =\frac{3}{4}\cos \alpha =\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}$  

---

$\text{f)}\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{2}}{2}\mid \cdot \cos \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{2}{4}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{2}{4}{\cos }^2\alpha +\frac{4}{4}{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{6}{4}{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{3}{2}{\cos }^2\alpha =1\mid \cdot \frac{2}{3}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{2}{3}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{6}{9}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$  

Obliczamy sinα:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{12}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$