$\text{a)}$  

$\left|x-4\right|=k+2$  

Narysujmy w układzie współrzędnych:

$f\left(x\right)=\left|x-4\right|$  

Zauważmy, że funkcja ma dwa rozwiązania dodatnie, gdy:

$0<f\left(x\right)<4$  

Zatem otrzymujemy:

$0<k+2<4$  

$-2<k<2$  

$k\in \left(-2,2\right)$  

---

$\text{b)}$  

$\left|1-3x\right|=8-2k$  

$\left|3x-1\right|=8-2k$  

Narysujmy w układzie współrzędnych:

$f\left(x\right)=\left|3x-1\right|$  

Zauważmy, że funkcja ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków, gdy:

$f\left(x\right)>1$  

Zatem otrzymujemy:

$8-2k>1$  

$-2k>-7$  

$k<\frac{7}{2}$  

$k\in \left(-\infty ,3\frac{1}{2}\right)$  

---

$\text{c)}$  

$\left|2x-4\right|-x=k$  

Narysujmy w układzie współrzędnych:

$f\left(x\right)=\left|2x-4\right|-x$  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}2x-4-x\text{dla}2x-4\ge 0\\ -2x+4-x\text{dla}2x-4<0\end{array}$  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x-4\text{dla}x\ge 2\\ -3x+4\text{dla}x<2\end{array}$  

Zauważmy, że funkcja ma dwa rozwiązania dodatnie, gdy:

$-2<f\left(x\right)<4$  

Zatem otrzymujemy:

$-2<k<4$  

$k\in \left(-2,4\right)$  

---

$\text{d)}$  

$x-3\left|x+2\right|=\frac{1-5k}{3}$  

Narysujmy w układzie współrzędnych:

$f\left(x\right)=x-3\left|x+2\right|$  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x-3\left(x+2\right)\text{dla}x+2\ge 0\\ x-3\left(-x-2\right)\text{dla}x+2<0\end{array}$  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x-3x-6\text{dla}x\ge -2\\ x+3x+6\text{dla}x<-2\end{array}$  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-2x-6\text{dla}x\ge -2\\ 4x+6\text{dla}x<-2\end{array}$  

Zauważmy, że funkcja ma dwa rozwiązania ujemne, gdy:

$-6<f\left(x\right)<-2$  

Zatem otrzymujemy:

$-6<\frac{1-5k}{3}<-2$  

$-18<1-5k<-6$  

$-19<-5k<-7$  

$\frac{19}{5}>k>\frac{7}{5}$  

$3\frac{4}{5}>k>1\frac{2}{5}$  

$k\in \left(1\frac{2}{5},3\frac{4}{5}\right)$  

 

Zauważmy, że dla  $k=1\frac{2}{5}$   mamy dokładnie jedno rozwiązanie.

Zatem odpowiedź podana w podręczniku jest błędna.